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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 91

Determine a área das regiões compreendidas entre

x = 3 s e n y c o s   y                   e x = 0 ,               0 ≤ y ≤ π 2

Passo 1

Perceba que inicialmente que estamos com uma função em relação a y . Sendo assim ao esboçarmos o gráfico dessas curvas, focaremos no eixo y para identificar qual a função que está a frente e qual está atrás. Já que pela definição

A = ∫ a b f y - g y d y

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de frente f ( y ) menos a função de trás g y .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver f y = t g 2 ( y )   é a função que está à frente , g y = - t g 2 ( y ) é a função que está atrás e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área.

Sendo assim, pela definição temos que a integral da região será:

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   - 0   d y

Utilizamos este intervalo de integração, pois foi dado no enunciado da questão.

Passo 3

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Sendo assim,

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   - 0   d y = ∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y

Utilizando substituição, suponha que u = c o s   y   então d u = - s e n ( y )   d y ⇒ d y = 1 - s e n x d u .Além disso quando x = 0 ⇒ u = c o s   0   = 1   e quando x = π 2 ⇒   u = c o s   π 2 = 0 .

Sendo assim

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y = ∫ u = 1 u = 0 3 s e n y u .   1 - s e n y d u = - ∫ u = 1 u = 0 3 u d u

Usando a regra de inversão dos intervalos,

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y = - ∫ u = 1 u = 0 3 u d u = ∫ u = 0 u = 1 3 u d u

Usando a propriedade de tirar a constante de dentro da integral,

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y = ∫ u = 0 u = 1 3 u d u = 3 ∫ u = 0 u = 1 u d u

Usando o fato de u = u 1 2 ,

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y = 3 ∫ u = 0 u = 1 u d u = 3 ∫ u = 0 u = 1 u 1 2 d u

Resolvendo a integral

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y = 3 ∫ u = 0 u = 1 u 1 2 d u = 3 2 3 . u 3 2 ​ 0 π 2

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y = 3 2 3 . u 3 2 ​ u = 0 u = 1 = 3 2 3 . 1 3 2 - 0 3 2 = 3 2 3 . 1 - 0 = 3 . 2 3 = 2

Logo,

∫ 0 π 2 3 s e n y c o s   y   d y = 2 .

Resposta

Área da região entre y = 3 s e n y c o s   y   e y = 0 quando     0 ≤ y ≤ π 2 é igual 2 .

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