Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.

y = x, y = - (x / 2), x = 2

Passo 1

Vamos lembrar do método da casca que é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a x - - x 2 .

Assim,

V = ∫ 0 2 2 π x x - - x 2 d x = ∫ 0 2 2 π x x + x 2 d x = ∫ 0 2 2 π x 3 x 2 d x = 3 π ∫ 0 2 x 2 d x

Passo 2

Calculando a integral:

V = 3 π ∫ 0 2 x 2 d x = 3 π x 3 3 0 2 = π x 3 0 2 = π 2 3 - 0 3 = 8 π

Resposta

8 π

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