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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 11

Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .]

f x = e x ,                     a = 3

Passo 1

Eai turminha! Tudo bem? Partiu gabaritar essa questão!?

A questão pede que encontramos a série de Taylor para a função f ( x ) centrada no valor de a = 3 .

Como resolvemos essa questão? Primeiro precisamos ver como é a expressão da série de Taylor e compreendê-la. Posterior aplicamos derivadas fazendo f ( a ) até encontrar um padrão, e feito isso, conseguimos escrever uma série para a expressão.

A série de Taylor é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = a , neste caso a = 3

f x = e x ⇒ f 3 = e 3

f ' x = e x ⇒ f ' 3 = e 3

f ' ' x = e x ⇒ f ' ' 3 = e 3

f ' ' ' x = e x ⇒ f ' ' ' 3 = e 3

Podemos achar o padrão, de forma geral f n 3 = e 3

Passo 2

Observe que para essa expressão f x , ao realizar as derivadas, ela segue um padrão a partir da segunda derivada. Todos os termos são idênticos:

f x = e x ⇒ f 3 = e 3

f ' x = e x ⇒ f ' 3 = e 3

f ' ' x = e x ⇒ f ' ' 3 = e 3

f ' ' ' x = e x ⇒ f ' ' ' 3 = e 3

Vamos expandir a série até n = 2 e aplicar essas derivadas par compreender melhor:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

f x = f 0 a 0 ! ( x - a ) 0 + f 1 a 1 ! ( x - a ) 1 +   f 2 a 2 ! ( x - a ) 2

Sabendo que:

a = 3

f 0 a = f a = f 3 = e 3

f 1 a = f ' a = f ' 3 = e 3

f 2 a = f ' ' a = f ' ' 3 = e 3

Temos a seguinte serie

f x = e 3 0 ! ( x - 3 ) 0 + e 3 1 ! ( x - 3 ) 1 +   e 3 2 ! ( x - 3 ) 2

Observe que o único termo que está sendo alterado é o n

Assim, podemos achar o padrão, de uma forma geral f n 3 = e 3

E dessa forma, conseguimos escrever que a série de Taylor para f ( x ) como um somatório

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 3 n ! x - 3 n

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ e 3 n ! ( x - 3 ) n

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ e 3 n ! ( x - 3 ) n

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