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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 12

Calcule a integral de superfície.

∬ y d S

S é a superfície z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 ,     0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Faaaala turma, tudo na paz!? Bora lá!

Precisamos calcular a integral de superfície:

∬ y d S

Onde S é a superfície:

z = 2 3 x 3 2 + y 3 2 ,     0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

Vamos lembrar como podemos escrever um integral de superfície. Dessa forma:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , z ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

d A = d x d y

Sabemos que:

f x , y , z = y

Qualquer superfície S com equação z pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas.

Precisamos achar as derivadas parciais de z em relação a x e y , e substituir na integral. Como já temos os limites de integração, é só substituir também e começar a resolver a integral.

0 ≤ x ≤ 1

  0 ≤ y ≤ 1

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar obtendo as derivadas parciais.

Sabemos que:

∬ f x , y , z ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

z = 2 3 x 3 2 + y 3 2

Assim, as derivadas parciais vão ser:

∂ z ∂ x = x

∂ z ∂ y = y

Agora, vamos escrever nossa integral. Assim:

∬ y x 2 + y 2 + 1   d x d y

Substituindo os limites de integração:

0 ≤ x ≤ 1

  0 ≤ y ≤ 1

Vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 1   y x + y + 1   d x d y

Passo 3

Vamos começar a integrar. Lembre-se, tudo que não depender da variável de integração consideramos uma constante.

Integrando primeiro em d x . Vamos precisar fazer uma substituição do tipo:

u = x + y + 1

d u = d x

Substituindo, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1   y u   d u d y

Integrando em d u e voltando as variáveis, temos:

∫ 0 1 2 3 y x + y + 1 3 2 0 1 d y

Agora, aplicando os limites de integração temos:

2 3 ∫ 0 1 y y + 2 3 2 - y y + 1 3 2 d y

Passo 4

Para facilitar, vamos separar em duas integrais. Desse jeito:

2 3 ∫ 0 1 y y + 2 3 2 d y - 2 3 ∫ 0 1 y y + 1 3 2 d y

Vamos resolver as duas integrais pelo método da substituição.

Seja na primeira integral:

u = y + 2

d u = d y

E na segunda integral:

t = y + 1

d t = d y

Temos:

2 3 ∫ 2 3 u - 2 u 3 2 d u - 2 3 ∫ 1 2 t - 1 t 3 2 d t

Repare que mudamos também os limites de integração para facilitar. Para isso, é só aplicar os valores de y = 0   e y = 1 nas expressões:

u = y + 2

t = y + 1

Integrando, vamos ter:

2 3 2 7 u 7 2 - 4 5 u 5 2 2 3 - 2 3 2 7 t 7 2 - 2 5 t 5 2 1 2

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

2 3 2 7 3 7 2 - 2 7 2 - 4 5 3 5 2 - 2 5 2 - 2 7 2 7 2 - 1 + 2 5 2 5 2 - 1

Simplificando, obtemos como resposta:

∬ f x , y , z d s = 4 105 9 3 + 4 2 - 2

Resposta

∬ f x , y , z d s = 4 105 9 3 + 4 2 - 2

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