Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 14
Calcule a integral de superfície.
é a parte do cone dado por .
Passo 1
Tudo beleza minha turminha!? Vamos começar então!
Nesse exercício nosso objetivo é calcular a integral de superfície:
Onde é parte do cone:
dado por
Primeiro vamos lembrar como podemos escrever um integral de superfície. Dessa forma:
Sabemos que:
Precisamos achar as derivadas parciais de em relação a e , e substituir na integral. Repare que essa expressão tem a cara de uma circunferência:
Se elevarmos os dois lados ao quadrado, temos:
Uma circunferência no plano e raio . Como varia de , temos que o raio é:
Em coordenadas polares, a parametrização fica:
Com esse bizu monstro, você já consegue montar a integral e resolvê-la!
Partiu gabaritar!
Passo 2
Sabemos que:
A integral de superfície se torna:
Precisamos achar as derivadas parciais de .
Assim,
Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:
Substituindo na integral, vamos ter:
Passo 3
Portanto, nosso objetivo agora é resolver a integral.
Vamos substituir , ficando com:
Como nossa região é o interior do círculo .
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a vida! Seja:
Com,
Substituindo na integral, vamos ter:
Vamos integrar primeiro em . Lembre-se que tudo que não depender da variável r consideramos uma constante.
Passo 4
Integrando em , ficamos com:
Aplicando os limites de integração, temos:
Para integrar em , precisamos usar a propriedade trigonométrica:
Assim,
Integrando em , vamos ter:
Aplicando os limites de integração, ficamos com:
Assim, concluímos que a resposta da integral é: