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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 11

Determine a área da superfície do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta y = x 2 + 1 2 , 1 ≤ x ≤ 3 , em torno do eixo x . Verifique se sua resposta coincide com a fórmula geométrica.

Á r e a   d e   s u p e r f í c i e   d o   t r o n c o = π r 1 + r 2 × a l t u r a   i n c l i n a d a

Passo 1

  1. Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim, temos que:

S = ∫ 1 3 2 π x 2 + 1 2   1 + 1 2 2 d x = 2 π ∫ 1 3 x 2 + 1 2   5 4 d x = π 5   x 2 4 + x 2 1 3 =

= π 5 3 2 4 + 3 2 - 1 4 - 1 2 = π 5 2 + 1 = 3 π 5

Verificando com a fórmula geométrica, temos:

Á r e a   d e   s u p e r f í c i e   d o   t r o n c o = π r 1 + r 2 × a l t u r a   i n c l i n a d a = 3 π 5

Onde r 1 = 1 2 + 1 2 = 1 , r 2 = 3 2 + 1 2 = 2 e a altura é 2 - 1 2 + 3 - 1 2 = 5 .

Resposta

3 π 5

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