Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1f

Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

f )   f x , y , z = x y ;   σ é a interseção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o conjunto x 2 + y 2 ≤ 2 x ,   y ≥ 0 .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos fazer x = u e y = v . Teremos a parametrização σ u , v = u , v ,   u 2 + v 2 .

As derivadas parciais então são:

∂ σ ∂ u = 1,0 , 2 u

∂ σ ∂ v = 0,1 , 2 v

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 2 u 0 1 2 v

= i → 0 2 u 1 2 v - j → 1 2 u 0 2 v + k → 1 0 0 1

= - 2 u i → -   j → - 2 v + k → ( 1 )

= - 2 u i → + + 2 v j → + 1 k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = - 2 u 2 + 2 v 2 + ( 1 ) 2 = 4 u 2 + 4 v 2 + 1

Aplicando na fórmula a gente fica com:

∬ K u v   4 u 2 + 4 v 2 + 1   d u d v

Vamos analisar nossa região agora...

Passo 3

A gente tem o seguinte:

z = x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≤ 2 x

Passado isso pra coordenadas polares, a gente tem que:

z = ρ 2

ρ 2 ≤ 2 ρ s e n   θ

ρ ≤ 2   s e n   θ

O intervalo de ρ então é:

0 ≤ ρ ≤ 2   s e n   θ

E o de θ ? Bom, a gente tem que y ≥ 0 , então cos ⁡ θ ≥ 0 .

0 ≤ θ ≤ π 2

Montando a integral então ficamos com:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2   s e n   θ ρ cos ⁡ θ ρ s e n   θ 4 ρ 2 + 1 ρ d ρ d θ

Passo 4

Vamos integrar em ρ :

∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ s e n   θ 1 120 4 x 2 + 1 3 2 6 x 2 - 1 0 2 s e n   θ d θ

1 120 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ s e n   θ 16 s e n 2 θ + 1 3 2 24   s e n 2 θ - 1 - 1 d θ

Vamos fazer u = s e n 2 θ → d u = 2   s e n θ cos ⁡ θ   d θ

= 1 240 ∫ 16 u + 1 3 2 24 u - 1 - 1   d u

Segunda substituição:

v = 16 u - 1 → u = v - 1 16

= 1 240 ∫ v 3 2 24 v - 1 16 - 1 - 1   d v

= 1 240 ∫ v 3 2 3 2 v - 1 - 1 - 1   d v

= 1 240 ∫ 3 2 v 5 2 - 3 2 v 3 2 - v 3 2 - 1   d v

= 1 240 3 2 ⋅ 2 7 v 7 2 - 3 2 ⋅ 2 5 v 5 2 - 2 5 v 5 2 - 1

= 1 240 3 7 v 7 2 - 3 5 v 5 2 - 2 5 v 5 2 - 1

= 1 240 3 7 v 7 2 - v 5 2 - 1

Passo 5

Agora a gente volta pra variável u ...

= 1 240 3 7 16 u - 1 7 2 - 16 u - 1 - 1

E por fim para a variável θ ...

= 1 240 3 7 16 s e n 2 θ - 1 7 2 - 16 s e n 2 - 1 5 2 - 1 0 π 2

Resolvendo com os intervalos agora:

= 1 240 3 7 15 7 2 - 15 5 2 - 1 + 3 7 - 1 + 1

= 1 240 3 7 3375 15 - 225 15 + 3 7 - 1

= 1 240 8550 15 + 3 - 7 7

= 8550 15 - 4 1680

e... finalmente é isso!

Resposta

8550 15 - 4 1680

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x y z d S , S é o cone com equações paramétricas x = u c o s v , y = u s e n v , z = v , 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ π 2 .
Calcule a integral de superfície. ∬ x z d S , S é a parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.
Calcule a integral de superfície. ∬ y d S , S é o helicoide com equação vetorial r u , v =u c o s v , u s e n v , v, 0 ≤ u ≤ 1 , o ≤ v ≤ π
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .