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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 3c

Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada:

c )   f x , y , z = 2 e σ u , v = u , v ,   1 - u 2 ,   0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ 1 .

Passo 1

A massa é calculada assim:

M = ∬ σ f x , y , z d S

Aqui já está parametrizado, a gente precisa fazer d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v . Vamos lá então:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0 , - 2 u

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , 0 )

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 - 2 u 0 1 0

= i → 0 - 2 u 1 0 - j → 1 - 2 u 0 0 + k → 1 0 0 1

=   i → - 2 u - j → 0 + k → ( 1 )

=   - 2 u   i → - 0 j → + k →

Passo 2

Agora a norma:

d S = ∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v = - 2 u 2 + 0 2 + 1 2 = 4 u 2 + 1  

A nossa massa então é dada por:

M = ∬ K 2   4 u 2 + 1   d u d v

M = 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 u 2 + 1   d u d v

Nessa aqui eu usei uma tabela para calcular a integral:

M = 2 ∫ 0 1 [ 1 4 2 u 4 u 2 + 1 + ln ⁡ 2 u + 4 u 2 + 1 0 1  

M = 1 2 ∫ 0 1 2 5 + ln ⁡ | 2 + 5 | - ln ⁡ 1   d v

M = 1 2 ∫ 0 1 2 5 + ln ⁡ | 2 + 5 |   d v

M = 1 2 2 5 + ln ⁡ 2 + 5

Prontinho! Essa é a massa😊

Resposta

M = 1 2 2 5 + ln ⁡ 2 + 5

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