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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 45

Determine a área da superfície.

A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde a função z = f ( x , y )   é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y .

Aqui a função é:

z = x y

A região a ser considerada é dentro do cilindro. No plano x y e em coordenadas cartesianas e polares temos:

r = 1

x = r c o s θ ,   y = r s e n θ

Então os limites são:

0 ≤ r ≤ 1

E para θ :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então o diferencial de área vai ser r d r d θ e o intervalo:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora temos que calcular os valores de ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

A função z é: z = x y . As derivadas parciais são:

∂ z ∂ x = y = r s e n θ

∂ z ∂ y = x = r c o s θ

Assim temos:

1 + r s e n θ 2 + r c o s θ 2   = 1 + r 2   = 1 + r 2

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + r 2 r d r d θ

A = ∫ 0 2 π 1 3 r 2 + 1 3 2 ​ 0 1   d θ = 1 3 ( 2 2 - 1 ) .   ∫ 0 2 π d θ

Agora é só integrar em θ :

A = 1 3 ( 2 2 - 1 ) . 2 π = 2 π 3 ( 2 2 - 1 )

Resposta

2 π 3 ( 2 2 - 1 )

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