Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 5
Determine se a série converge ou diverge.
5.
Passo 1
Show de bola, galera?
O enunciado pede pra gente determinar se a série converge ou diverge.
O método mais rápido seria através do Teste da Comparação.
Primeiro, qual outra série a gente poderia utilizar para fazermos a comparação?
A gente pode desenvolver ela da seguinte maneira:
A parte dominante do numerador que nos deram foi e a parte dominante do denominador é o . Assim temos que
Simplificando por
Ou seja, chegamos a uma p-série, com o expoente , classificando esta série como divergente!
Passo 2
Vamos comparar agora:
Como a p-série tende ao infinito por ser divergente, então será considerado como o maior.
Multiplicando meio pelos extremos:
Como essa afirmação não é verdadeira, então iremos testar a comparação no limite!
Passo 3
Suponha que seja a série que nos deram, e a série que iremos usar para comparar.
Se fizermos
Onde é um número finito e , então ambas as séries ou convergem ou ambas divergem.
Agora vamos incluir tudo na fórmula:
Cancelando o
Fatorando e simplificando:
Resolvendo o limite:
Como tende a zero, então:
Veja que, se o resultado do limite deu um valor finito e positivo, a gente pode fazer a comparação. E como é uma série divergente, então a série dada na questão também só pode ser divergente!