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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 9

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

9. y = cos ⁡ 2 x , y = 0 , x = π 4 , x = π 2

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Passo 2

O esboço da região é assim:

A curva é limitada acima por f x = 0 e abaixo é limitada por g x = cos ⁡ 2 x , à esquerda é delimitada pela reta x = π 4 , então a = π 4 e à direita é delimitada por x = π 2 , então b = π 2 .

Montando nossa integral da área, ela fica assim:

A = ∫ π 4 π 2 ( 0 - ⁡ cos ⁡ 2 x ) d x = ∫ π 4 π 2 ( - ⁡ cos ⁡ 2 x ) d x

Vamos calcular a integral indefinida abaixo:

∫ - ⁡ cos ⁡ 2 x d x = - ∫ cos ⁡ 2 x d x

Vamos calcular em separado cada uma:

∫ cos ⁡ 2 x d x

Vamos chamar u = 2 x .

Derivando temos:

d u = 2 d x

Retornando para a integral, temos:

∫ cos ⁡ u d u 2 = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sin ⁡ u + C

Retornando para a nossa variável:

∫ cos ⁡ 2 x d x = 1 2 sin ⁡ 2 x + C

Voltando para a integral, temos, lembrando que essa integral ∫ cos ⁡ 2 x d x vai com o sinal negativo:

∫ - ⁡ cos ⁡ 2 x d x = - 1 2 sin ⁡ 2 x + C

Passo 3

Vamos pegar a antiderivada abaixo

F x = - 1 2 sin ⁡ 2 x

Então para calcularmos a integral definida:

A = ∫ π 4 π 2 ( - ⁡ cos ⁡ 2 x ) d x = F π 2 - F ( π 4 )

Calculando F 2 e F ( 0 ) :

F π 2 = - 1 2 sin ⁡ 2 π 2 = - 1 2 sin ⁡ π = - 1 2 0 = 0

F π 4 = - 1 2 sin ⁡ 2 π 4 = - 1 2 sin ⁡ π 2 = - 1 2 1 = - 1 2

Voltando para a expressão da área, temos:

A = ∫ π 4 π 2 ( - ⁡ cos ⁡ 2 x ) d x = 0 - - 1 2 = 1 2

Então:

A = 1 2

Resposta

1 2

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