7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

14. x = 1 / y, x = 0, y = 1, y = e

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão:

Essa fórmula é a 6.1.4 Fórmula para a área trocando x por y

Se w e v forem contínuas e w ( y ) ≥ v ( y ) em cada y de [ c , d ] , então a área da região limitada à esquerda por x = v ( y ) , à direita por x = w ( y ) , acima por y = d   e abaixo pela reta   y = c .

A = ∫ c d w ( y ) - v ( y ) d y

Podemos desenhar o gráfico e assim descobrir as propriedades que limitam essa curva!

Passo 2

Vamos desenhar o gráfico x = 1 y e x = 0 , em vermelho temos a curva x = 1 y ,em verde temos a reta y = 1 e em roxo temos a reta y = e .

A curva é delimitada à esquerda por x = 0 e á direita por x = 1 y

w y = 1 y   e   v y = 0  

Agora quem delimita acima é y = e e abaixo por y = 1 .

Vamos montar a integral, então:

A = ∫ 1 e 1 y - ( 0 )   d y = ∫ 1 e 1 y   d y

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = ∫ 1 e 1 y   d y

Vamos fazer primeiro a integral indefinda separadamente!

∫ 1 y   d y = ln ⁡ y + C

Então fazendo F e e F 1 , sabendo que F y = ln ⁡ y

F e = ln ⁡ e = 1

F 1 = ln ⁡ 1 = 0

Voltando para a integral definida:

A = ∫ 1 e 1 y   d y = 1 - 0 = 1

Então a área é:

A = 1

Resposta

A = 1

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