Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 14

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

14. x = 1 y     ,     x = 0 , y = 1 , y = e

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão:

Essa fórmula é a 6.1.4 Fórmula para a área trocando x por y

Se w e v forem contínuas e w ( y ) ≥ v ( y ) em cada y de [ c , d ] , então a área da região limitada à esquerda por x = v ( y ) , à direita por x = w ( y ) , acima por y = d   e abaixo pela reta   y = c .

A = ∫ c d w ( y ) - v ( y ) d y

Podemos desenhar o gráfico e assim descobrir as propriedades que limitam essa curva!

Passo 2

Vamos desenhar o gráfico x = 1 y e x = 0 , em vermelho temos a curva x = 1 y ,em verde temos a reta y = 1 e em roxo temos a reta y = e .

A curva é delimitada à esquerda por x = 0 e á direita por x = 1 y

w y = 1 y   e   v y = 0  

Agora quem delimita acima é y = e e abaixo por y = 1 .

Vamos montar a integral, então:

A = ∫ 1 e 1 y - ( 0 )   d y = ∫ 1 e 1 y   d y

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = ∫ 1 e 1 y   d y

Vamos fazer primeiro a integral indefinda separadamente!

∫ 1 y   d y = ln ⁡ y + C

Então fazendo F e e F 1 , sabendo que F y = ln ⁡ y

F e = ln ⁡ e = 1

F 1 = ln ⁡ 1 = 0

Voltando para a integral definida:

A = ∫ 1 e 1 y   d y = 1 - 0 = 1

Então a área é:

A = 1

Resposta

A = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Pappus para encontrar o volume de uma esfera com um raio de r unidades.
Prove a distância do centróide de um triângulo é igual a um terço da altura daquele lado.
Seja R a região limitada pelo semicrículo y = r 2 - x 2 e o eixo x. Use o teorema de Pappus para encontrar o momento de R em relação à reta y = - r .
Seja R a região limitada pelas curvas y = f 1 x e y = f 2 ( x ) . Se A for a medida da área de R e y - for a coordenada do centróide de R , prove que a medida do volume V do sólido de revolução obtido
Se o centróide da região limitada pela parábola y 2 = 4 p x e pela reta x = a estiver no ponto ( p , 0 ) , ache o valor de a .