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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.1 - Ex. 27

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = 1 x , y = x , y = 1 4 x ,   x > 0

Passo 1

Para esse caso, precisaremos fazer duas interseções. Já sabendo que todas as funções, exceto a y = 1 x , serão retas passando pela origem.

Então, vamos lá né, primeiro entre 1 x e x :

1 x = x

Temos:

x 2 = 1

x = ± 1

Agora, faremos entre 1 4 x e 1 x :

1 4 x = 1 x

x 2 = 4

x = ± 2

O nosso gráfico fica assim:

Temos esses valores de integração, porém, se lembra que x > 0 ? Então, os valores negativos serão desconsiderados. Vamos para o calculo da área!

Passo 2

Organizando a integral, temos:

A = ∫ 0 1 ( x - 1 4 x ) d x + ∫ 1 2 ( 1 x - 1 4 x ) d x

A = ∫ 0 1 ( 3 4 x ) d x + ∫ 1 2 ( 1 x - 1 4 x ) d x

Resolvendo...

A = 3 x 2 8 0 1 + ln ⁡ x - 1 8 x 2 1 2

A = 3 8 ( 1 - 0 ) 0 1 + ( ln ⁡ 2 - 1 2 ) - ( 0 - 1 8 ) 1 2

Então, isso resultará em:

A = ln ⁡ 2

Prontinho!!

Resposta

A = ln ⁡ 2

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). ρ = e - θ , θ ≥ 0
Determine as áreas totais das regiões sombreadas
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