Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 16
Em cada um dos problemas de 13 a 16, resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial .
Passo 1
Opa, beleza?? Bora resolver esse exercício!!
A função acima é descontínua quando:
e
Sabemos que a função é separável, ou seja, conseguimos dividir em duas partes:
Agora, integrando dos dois lados, temos:
Repare que na integral da direita, podemos fazer :
Voltando com :
Dessa forma, a solução é:
Com a condição inicial :
Elevando os dois lados ao quadrado:
Opa, então:
Beleza??
Passo 2
Como temos uma raiz quadrada na solução da EDO, concorda que não podemos ter um número negativo ali dentro?? Então, as soluções para a equação existem quando:
Multiplicando tudo por :
Então, pela definição de logaritmo:
Então, para todo , as soluções válidas serão ao longo de:
Então, se , nós teremos um número positivo ali dentro do módulo, certo? Com isso, podemos fazer:
Resolvendo isso:
Opa, essa é a nossa condição para . Podemos escrever assim, também:
Show?? Só isso!!