Em cada um dos problemas de 13 a 16, resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y₀ .

y' = t^2 / y(1 + t^3), y(0) = y0

Passo 1

Opa, beleza?? Bora resolver esse exercício!!

A função acima é descontínua quando:

t =   - 1 e y = 0

Sabemos que a função f t , y é separável, ou seja, conseguimos dividir em duas partes:

y d y   = t 2   d t ( 1 + t 3 )    

Agora, integrando dos dois lados, temos:

∫ y d y     =   ∫ t 2   d t ( 1 + t 3 )  

Repare que na integral da direita, podemos fazer u = 1 + t 3 → d u = 3 t 2 d t :

∫ y d y     = 1 3   ∫ d u ( u )  

y 2 2 = 1 3 ln ⁡ u + C

Voltando com u = 1 + t 3 :

y 2 2   = 1 3 ln ⁡ ( 1   + t 3 ) + C

Dessa forma, a solução é:

y t = 2 3 ln ⁡ 1 + t 3 + C

Com a condição inicial y 0 = y 0 :

y 0 = y 0 = 2 3 ln ⁡ 1 + C

y 0 = C

Elevando os dois lados ao quadrado:

C = y 0 2

Opa, então:

y t = 2 3 ln ⁡ 1 + t 3 + y 0 2

Beleza??

Passo 2

Como temos uma raiz quadrada na solução da EDO, concorda que não podemos ter um número negativo ali dentro?? Então, as soluções para a equação existem quando:

2 3 l n t 3   + 1 + y 0 2 ≥ 0

y 0 2 ≥   -   2 3 l n t 3   + 1

3 2 y 0 2 ≥   - l n t 3   + 1

Multiplicando tudo por - 1 :

l n t 3   + 1 ≥ 3 2 y 0 2

Então, pela definição de logaritmo:

t 3 + 1 ≥ e 3 2 y 0 2

Então, para todo y 0 , as soluções válidas serão ao longo de:

t 3   + 1 ≥ e 3 2 y 0 2

Então, se t > - 1 , nós teremos um número positivo ali dentro do módulo, certo? Com isso, podemos fazer:

t 3 + 1 ≥ e 3 2 y 0 2

Resolvendo isso:

t 3 ≥ e 3 2 y 0 2 - 1

t ≥ e 3 2 y 0 2 - 1 3

Opa, essa é a nossa condição para t . Podemos escrever assim, também:

e 3 2 y 0 2 - 1 3   <   t <   ∞

Show?? Só isso!!

Resposta

e 3 2 y 0 2 - 1 3   <   t <   ∞

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