Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 20
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.
Como um dos limites de integração é infinito, essa é uma integral impropria do tipo 1. Trocando o limite infinito por , obtemos a integral
Devemos calculá-la e depois fazer .
Passo 2
A integral acima é calculada usando integração por partes
Chamando e , temos que e . Assim,
Portanto,
Passo 3
Sabemos que
Além disso,
Como se trata de uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Assim,
Assim,
Resposta
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Se ∫ - ∞ ∞ f x d x é convergente e a e b são números reais, mostre que ∫ - ∞ a f x d x + ∫ a ∞ f x d x = ∫ - ∞ b f x d x + ∫ b ∞ f x d x
Calcule o valor da constante C para a qual a integral ∫ 0 ∞ 1 x 2 + 4 - C x + 2 d x Converge. Calcule a integral para esse valor de C .
Calcule o valor da constante C para a qual a integral ∫ 0 ∞ x x 2 + 1 - C 3 x + 1 d x Converge. Calcule a integral para esse valor de C .
a Mostre que ∫ - ∞ ∞ x d x é divergente. b Mostre que lim t → ∞ ∫ - t t x d x = 0 Isso mostra que não podemos definir ∫ - ∞ ∞ f x d x = lim t → ∞ ∫ - t t f x d x
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