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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.6 - Ex. 24

Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral

∫ sin 6 ⁡ 2 x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar a tabela de integrais presente no final do livro para resolver a integral. Assim, não utilizaremos diretamente as técnicas de integração conhecidas, pois na tabela temos a relação conhecida para resolver a integral da questão.

Passo 2

Primeiramente, iremos aplicar a seguinte substituição

u = 2 x ; d u = 2 d x

∫ sin 6 ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ sin 6 ⁡ u d u

Utilizando a entrada 73 da tabela, temos

1 2 ∫ sin 6 ⁡ u d u = 1 2 - 1 6 sin 5 ⁡ u cos ⁡ u + 5 6 ∫ sin 4 ⁡ u d u

Veja que ao utilizar a tabela, temos outra integral a ser solucionada, porém com um expoente menor em sin ⁡ u . Dessa forma, deveremos utilizar novamente a tabela para solucionar a integral que sobrou.

Passo 3

Utilizando a entrada 73 da tabela, podemos resolver a integral

1 2 - 1 6 sin 5 ⁡ u cos ⁡ u + 5 6 ∫ sin 4 ⁡ u d u = - 1 12 sin 5 ⁡ u cos ⁡ u + 5 12 - 1 4 sin 3 ⁡ u cos ⁡ u + 3 4 ∫ sin 2 ⁡ u d u

Utilizando agora a entrada 63 da tabela, podemos solucionar de vez a integral

- 1 12 sin 5 ⁡ u cos ⁡ u + 5 12 - 1 4 sin 3 ⁡ u cos ⁡ u + 3 4 ∫ sin 2 ⁡ u d u = - 1 12 sin 5 ⁡ u cos ⁡ u - 5 48 sin 3 ⁡ u cos ⁡ u + 5 16 1 2 u - 1 4 sin ⁡ 2 u + C

Voltando para x , temos

- 1 12 sin 5 ⁡ u cos ⁡ u - 5 48 sin 3 ⁡ u cos ⁡ u + 5 16 1 2 u - 1 4 sin ⁡ 2 u + C = - 1 12 sin 5 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x - 5 48 sin 3 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x + 5 16 1 2 2 x - 1 4 sin ⁡ 2 ( 2 x ) + C

Resposta

∫ sin 6 ⁡ 2 x d x = - 1 12 sin 5 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x - 5 48 sin 3 ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x + 5 16 x - 1 4 sin ⁡ 4 x + C

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