Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 14
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função tal que .
Passo 1
Fala aiiiii, se queremos checar se um campo é conservativo ou não, nosso primeiro passo é checar o domínio da nossa função. Se for definida em todo o , ela pode ser conservativa.
Depois, precisamos verificar se as derivadas de segunda ordem são contínuas. Para isso, podemos analisar nossas funções. Pelo formato das funções, podemos determinar se as derivadas são contínuas antes mesmo de calculá-las. Por exemplo, funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas têm derivadas contínuas.
Por fim, precisamos calcular o rotacional da nossa função e verificar se é igual a 0. Caso isso ocorra, o campo vetorial é conservativo.Lembrando que o rotacional é encontrado através da fórmula:
Caso o campo seja conservativo, para obtermos as funções tais que , temos que comparar cada uma das coordenadas dos dois vetores, e assim sair integrando a nossa função.
vamos lá !!!
Passo 2
A nossa função é definida em todo o e possui derivadas de segunda ordem contínuas. Então, precisamos calcular o rotacional da nossa função. Sabendo que , então
Portanto, vamos calcular cada um dos termos deste rotacional. Logo,
Já para o termo que acompanha , temos:
Por fim, o termo que acompanha é:
Logo, o rotacional é:
Isso quer dizer que o nosso campo não vai ser conservativo galera!!
Passo 3
Como o nosso campo não é conservativo, não existe que satisfaça a relação .
Resposta
O campo vetorial não é conservativo e não existe uma função que satisfaça .