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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 18

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y , z = sen ⁡ y i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - y sen ⁡ z k ^

C : r → t = sen ⁡ t i ^ + t   j ^ + 2 t   k ^ ,         0 ≤ t ≤ π / 2

Passo 1

Oii, pessoal, tudo certo?

Nessa questão, vamos ter que fazer duas coisas.

A primeira é achar a função f tal que F → = ∇ f . Isso quer dizer que para

F → x , y , z = F 1 i ^ + F 2 j ^ + F 3 k ^

Temos

F 1 = f x

F 2 = f y

F 3 = f z

Então, vamos ter que calcular:

f = ∫ f x d x

Que vai nos dar uma constante de integração g y , z , já que y e z são constantes quando integramos em função de x .

Daí, derivamos esse f em função de y e de z para acharmos quem é g .

A segunda coisa vai ser calcular uma integral de linha usando dessa função f .

Pra isso, vamos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:

∫ C ∇ f ⋅ d r → = f r → b - f r → a

Onde r → t , com a ≤ t ≤ b é uma parametrização de C .

Já que F → = ∇ f , essa integral vai ser igual a ∫ C F → ∙ d r → .

Passo 2

(a)

No nosso campo

F → x , y , z = sen ⁡ y i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - y sen ⁡ z k ^

Temos que

f x = sen ⁡ y

f y = x cos ⁡ y + cos ⁡ z

f z = - y sen ⁡ z

Começamos integrando f x em função de x :

f = ∫ sen ⁡ y d x = x sen ⁡ y + g y , z

Passo 3

Agora derivamos em função de y :

f y = ∂ x sen ⁡ y ∂ y + g y y , z

= x cos ⁡ y + g y y , z

Como isso é igual a F 2 :

x cos ⁡ y + cos ⁡ z =   x cos ⁡ y + g y y , z

⇒ g y y , z = cos ⁡ z

Pra achar o g , integramos em função de y :

g y , z = ∫ cos ⁡ z d y = y cos ⁡ z + h z

Essa constante h z depende de z porque é constante em função de y .

Voltando pra f :

f = ∫ sen ⁡ y d x = x sen ⁡ y + y cos ⁡ z + h z

Passo 4

Derivando em função de z :

f z = ∂ x sen ⁡ y + y cos ⁡ z ∂ z + h ' z

= - y sen ⁡ z + h ' z

Como isso é igual a F 3 :

- y sen ⁡ z = - y sen ⁡ z + h ' z

⇒ h ' z = 0

Então esse h é uma constante:

h z = C

Como isso vale pra qualquer valor de C , vamos assumir C = 0 e achamos quem é f :

f = x sen ⁡ y + y cos ⁡ z

Passo 5

(b)

Agora a gente quer calcular uma integral de linha. Já vimos que:

∫ C F → ⋅ d r → = f r → b - f r → a

Nossa parametrização é

r → t = sen ⁡ t i ^ + t   j ^ + 2 t   k ^ ,         0 ≤ t ≤ π / 2

Então

∫ C F → ⋅ d r → = f r → π 2 - f r → 0

Vamos primeiro calcular quem são os pontos r → π 2 e r → 0 :

r → π 2 = sen ⁡ π 2 , π 2 , 2 ∙ π 2

= 1 , π 2 , π

E

r → 0 = sen ⁡ 0 , 0,2 ∙ 0

= 0,0 , 0

Passo 6

Então, a integral fica:

∫ C F → ⋅ d r → = f 1 , π 2 , π - f 0,0 , 0

Onde

f = x sen ⁡ y + y cos ⁡ z

Calculando os valores de f ...

f 1 , π 2 , π = 1 ∙ sen ⁡ π 2 + π 2 ∙ cos ⁡ π

= 1 - π 2

E

f 0,0 , 0 = 0 ∙ sen ⁡ 0 + 0 ∙ cos ⁡ 0

= 0

Então, a integral fica:

∫ C F → ⋅ d r → = 1 - π 2 - 0

= 1 - π 2

Resposta

(a)

f = x sen ⁡ y + y cos ⁡ z

(b)

∫ C F → ⋅ d r → = 1 - π 2

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