Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F(x, y, z) = xy * e^z + yz * e^x + k^

Passo 1

Faala, turma!

Nessa questão precisamos calcular o divergente de um campo vetorial:

F → x , y , z = x y e z   i ^ + y z e x   k ^

Se a gente escrever F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o divergente é calculado assim:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Pro nosso campo, temos:

P = x y e z

Q = 0

R = y z e x

Então nossa missão vai ser calcular essas derivadas parciais e depois somar.

Passo 2

Começando com a derivada de P em função de x . Mantemos y e z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ x y e z ∂ x = y e z

Já que Q = 0 :

∂ Q ∂ y = 0

Por último, derivamos R em função de z , com x , y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ y z e x ∂ z = y e x

Passo 3

Voltando pra fórmula do divergente:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

= y e z + 0 + y e x

Colocando o y em evidência:

div ⁡ F → = y e z + e x

Resposta

div ⁡ F → = y e z + e x

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