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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 1b

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = x y 2 z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

Passo 1

Vamos lá, pessoal!

Agora no item (b), queremos achar o divergente desse campo vetorial:

F x , y = x y 2 z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

Mas o que quer dizer esse divergente?

De uma forma geral, temos esse campo vetorial em R 3 , ó:

F = P i + Q j + R k

E se P ,   Q   e   R tiverem derivadas parciais, então o divergente de F é o campo vetorial em R 3 dado por essa fórmula aqui, ó:

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Lembrando que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a x ,   y   e z , show? 😉

Passo 2

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

Antes vamos dar nomes aos nossos camaradas!

F x , y = x y 2 z 2   ⏟ P i + x 2 y z 2 ⏟ Q   j + x 2 y 2 z ⏟ R   k

Logo, faremos as derivadas parciais de P , de Q e de R :

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x x y 2 z 2 = y 2 z 2

∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y z 2 = x 2 z 2

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z x 2 y 2 z = x 2 y 2

Calculando a divergência do campo vetorial, jogando na fórmula do passo anterior:

d i v   F = y 2 z 2 + x 2 z 2 + x 2 y 2

Show de bolinha! 😊

Resposta

d i v   F = y 2 z 2 + x 2 z 2 + x 2 y 2

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