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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 1a

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F x , y = x y 2 z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

Passo 1

Tudo bom, pessoal?

Na nossa questão, no item (a), queremos achar o rotacional desse campo vetorial dado:

F x , y = x y 2 z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

Mas o que bomba é esse rotacional?

De uma forma geral, temos esse campo vetorial em R 3 , ó:

F = P i + Q j + R k

E se P ,   Q   e   R tiverem derivadas parciais, então o rotacional de F é o campo vetorial em R 3 dado por essa fórmula aqui, ó:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Lembrando que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a x ,   y   e z , individualmente.

Passo 2

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

Primeiro vamos dar nome aos bois:

F x , y = x y 2 z 2   ⏟ P i + x 2 y z 2 ⏟ Q   j + x 2 y 2 z ⏟ R   k

As derivadas parciais de P :

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x y 2 z 2 = 2 x y z 2

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z x y 2 z 2 = 2 x y 2 z

As derivadas parciais de Q :

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x 2 y z 2 = 2 x y z 2

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z x 2 y z 2 = 2 x 2 y z

E as derivadas parciais de R :

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y 2 z = 2 x 2 y z

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x x 2 y 2 z = 2 x y 2 z

Calculando o rotacional do campo vetorial, jogando na fórmula do passo anterior:

r o t   F = 2 x 2 y z - 2 x 2 y z i + 2 x y 2 z - 2 x y 2 z j + 2 x y z 2 - 2 x y z 2 k

Nosso rotacional será, finalmente

r o t   F = 0

Resposta

r o t   F = 0

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