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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 6a

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F → x , y = ln ⁡ 2 y + 3 z   i ^ + ln ⁡ x + 3 z j ^ + ln ⁡ x + 2 y   k ^

Passo 1

Fala, galera, tudo certo?

Essa questão deu pra gente um campo vetorial e pediu o rotacional.

Se nosso campo é F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o rotacional é calculado assim:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

No caso dessa questão, o campo é

F → x , y , z = x y e z   i ^ + y z e x   k ^

Então

P = ln ⁡ 2 y + 3 z

Q = ln ⁡ x + 3 z

R = ln ⁡ x + 2 y

Nossa missão vai ser calcular cada uma das derivadas e depois substituir nessa fórmula, pra encontrar o rotacional.

Como essas funções são funções compostas, a gente vai precisar calcular usando a regra da cadeia:

∂ ln ⁡ u ∂ x = 1 u ∙ ∂ u ∂ x

Passo 2

Começando com a primeira coordenada do rotacional:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , mantendo x e z como constantes:

∂ R ∂ y = ∂ ln ⁡ x + 2 y ∂ y =

= 1 x + 2 y ∙ ∂ x + 2 y ∂ y = 2 x + 2 y

Derivando Q em função de z , mantendo x e y como constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ ln ⁡ x + 3 z ∂ z =

= 1 x + 3 z ∙ ∂ x + 3 z ∂ z = 3 x + 3 z

E aí:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = 2 x + 2 y - 3 x + 3 z

Passo 3

Agora a segunda coordenada:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando P em função de z , mantendo x e y como constantes:

∂ P ∂ z = ∂ ln ⁡ 2 y + 3 z ∂ z =

= 1 2 y + 3 z ∙ ∂ 2 y + 3 z ∂ z = 3 2 y + 3 z

Derivando R em função de x , mantendo y e z como constantes:

∂ R ∂ x = ∂ ln ⁡ x + 2 y ∂ x =

= 1 x + 2 y ∙ ∂ x + 2 y ∂ x = 1 x + 2 y

Então:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = 3 2 y + 3 z - 1 x + 2 y

Passo 4

E por último, a componente k ^ :

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de x , mantendo y e z como constantes:

∂ Q ∂ x = ∂ ln ⁡ x + 3 z ∂ x =

= 1 x + 3 z ∙ ∂ x + 3 z ∂ x = 1 x + 3 z

Derivando P em função de y , mantendo x e z como constantes:

∂ P ∂ y = ∂ ln ⁡ 2 y + 3 z ∂ y =

= 1 2 y + 3 z ∙ ∂ 2 y + 3 z ∂ y = 2 2 y + 3 z

Daí:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 1 x + 3 z - 2 2 y + 3 z

Passo 5

Então o rotacional fica:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = 2 x + 2 y - 3 x + 3 z i ^ + 3 2 y + 3 z - 1 x + 2 y j ^ + 1 x + 3 z - 2 2 y + 3 z k ^

Resposta

rot ⁡ F → = 2 x + 2 y - 3 x + 3 z i ^ + 3 2 y + 3 z - 1 x + 2 y j ^ + 1 x + 3 z - 2 2 y + 3 z k ^

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