Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F(x, y) = raiz(x) / (1 + z) * i + raiz(y) / (1 + x) * j + raiz(z) / (1 + y) * k

Passo 1

Aaaaaa, galera linda!

Agora na letra (b) queremos achar o divergente desse campo vetorial:

F x , y = x 1 + z   i + y 1 + x j + z 1 + y   k

Mas o que bomba é esse campo vetorial divergente?

Vamos supor que tenhamos um campo vetorial em R 3 , como esse:

F = P i + Q j + R k

Supondo que existem as derivadas parciais de P ,   Q   e   R , então jogamos nessa fórmula top para achar a divergência:

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Vamos relembrar que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a x ,   y   e z , show? 😊

Passo 2

Sabendo que P ,   Q   e   R são

F x , y = x 1 + z ⏟ P   i + y 1 + x ⏟ Q j + z 1 + y ⏟ R   k

Então, vamos calcular as derivadas parciais de cada termo:

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x x 1 + z = 1 2 x 1 + z

∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y y 1 + x = 1 2 y 1 + x

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z z 1 + y = 1 2 z 1 + y

Jogando na fórmula do passo anterior, podemos calcular a divergência do campo vetorial:

d i v   F = 1 2 x 1 + z + 1 2 y 1 + x + 1 2 z 1 + y

Resposta

d i v   F = 1 2 x 1 + z + 1 2 y 1 + x + 1 2 z 1 + y

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