Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F(x, y) = x^3 * y * z^2 * j + y^4 * z^3 * k

Passo 1

Fala, minha galera!

No nosso item (b) queremos achar o divergente do campo vetorial dado:

F x , y = x 3 y z 2   j + y 4 z 3   k

Mas o que doideira é essa de divergente?

Vamos supor que tenhamos um campo vetorial em R 3 :

F = P i + Q j + R k

E se P ,   Q   e   R tiverem derivadas parciais, então o divergente de F é o campo vetorial em R 3 dado por essa fórmula aqui, ó:

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Lembrando que nas derivadas parciais, a gente deriva uma mesma função em relação a x ,   y   e z , belezinha? 😉

Passo 2

Assim, para essa questão vamos primeiro calcular as derivadas parciais!

Sendo então

F x , y = x 3 y z 2 ⏟ Q   j + y 4 z 3 ⏟ R   k

Não temos nosso P , então

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x 0 = 0

∂ Q ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y z 2   = x 3 z 2

∂ R ∂ z = ∂ ∂ z y 4 z 3   = 3 y 4 z 2

Calculando a divergência do campo vetorial, jogamos na fórmula do passo anterior e chegamos a

d i v   F = x 3 z 2 + 3 y 4 z 2

Resposta

d i v   F = x 3 z 2 + 3 y 4 z 2

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