Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 17
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
Passo 1
Faala, pessoal!
Essa questão deu pra gente um campo vetorial
e pediu pra determinarmos se ele é conservativo. Se for, a gente vai precisar encontrar uma função potencial , ou seja, que satisfaça:
Vamos lembrar como sabemos se um campo é conservativo. Pra , calculamos o rotacional:
E vai ser conservativo se o rotacional for .
No campo desse exercício, temos:
Pra resolver a questão, vamos fazer o passo a passo:
- Calcular as derivadas parciais
- Encontrar o valor do rotacional
- Se , o campo não é conservativo, e a questão termina.
- Vamos usar das relações:
- Pra achar quem é , vamos derivar essa expressão de que acharmos e igualar:
Se , o campo é conservativo, e podemos achar a função .
E integrar uma das equações dos dois lados, por exemplo:
Como essa integral é em função de , a constante de integração vai ser uma função das outras variáveis: .
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais pro rotacional.Para a primeira coordenada:
Quando derivamos em função de uma variável, as outras são consideradas constantes
Derivando em função de , temos que fazer uma regra do produto:
Derivando em função de , de novo usando regra do produto:
Então:
Passo 3
Agora vamos pra segunda coordenada do rotacional:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
E a última coordenada:
Derivando:
Então:
Como as três coordenadas deram zero, temos:
Ou seja, o campo é conservativo!
Passo 5
Agora vamos calcular a função potencial.
Como já vimos,
Integrando em função de , com constantes:
A constante de integração depende das variáveis que são constantes nesse caso, por isso .
Passo 6
Pra descobrir , vamos fazer:
Igualando isso a :
Isso quer dizer que é constante em função de , então:
Passo 7
Agora derivando em função de :
Como isso é igual a :
Ou seja, é uma constante! Então achamos :
Resposta
Campo é conservativo e