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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 22

Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial de força F movendo um objeto um objeto de P a Q.

F x , y = y 2 x 2 i - 2 y x j ;               P 1,1 ,   Q ( 4 , - 2 )

Passo 1

Antes de tudo, vamos relembrar como que calculamos o trabalho de uma força! Da física, sabemos que:

W = ∫ C F ⋅ d r

Pronto, agora que sabemos que temos que calcular esta integral de linha, vamos utilizar os conhecimentos aprendidos nessa seção para responde-lo. Para isto, vamos encontrar uma função f tal que F = ∇ f . Precisamos disto pois:

∫ C F ⋅ d r = ∫ C ∇ f ⋅ d r = f 4 , - 2 - f 1,1

E aí, com isto conseguiremos resolver nossa questão! Vamos aos cálculos então.

Passo 2

Para obtermos esta função f , temos que comparar cada um dos termos de F com as derivadas parciais de f . Isto é:

f x x , y , z = y 2 x 2 f y x , y , z = - 2 y x

Agora, vamos pegar a nossa primeira equação e integrar em relação a x . Com isto, obtemos que:

f x , y , z = - y 2 x + g y

Precisamos descobrir quem é essa g y agora. Para isto, vamos ter de usar a outra equação do nosso sistema inicial. E para podermos utilizar essas equações, vamos ter de obter a derivada parcial da função f em relação a y . Portanto,

f y x , y , z = - 2 y x + g ' y = - 2 y x

g ' y = 0

Portanto, g y = C , em que C é uma constante qualquer. Sendo assim, a nossa função f é:

f x , y = - y 2 x + C

Passo 3

Conforme descrito no Passo 1, basta substituirmos as coordenadas do ponto final e inicial na função f . Sendo assim, a nossa integral é:

W = ∫ C F ⋅ d r = f 4 , - 2 - f 1 , 1

W = ∫ C F ⋅ d r = - 4 4 + C - - 1 1 + C

W = ∫ C F ⋅ d r = 0

E esse é o resultado da nossa integral.

Resposta

W = ∫ C F ⋅ d r = 0

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