Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 24

A partir do gráfico de você diria que ele é conservativo? Verifique se seu palpite estava correto.

Passo 1

Seja . Para checarmos se esse campo vetorial é conservativo, basta verificarmos se:

E é isso o que precisamos fazer.

Entretanto, antes disso, vamos começar esboçando o nosso campo vetorial e tentar analisar se ele será conservativo ou não. Sendo assim, vejamos o campo vetorial abaixo.

É esperado que o campo seja conservativo, pois podemos desenhar várias curvas fechadas e não haverá uma direção preferencial dos vetores em relação a direção da curva.

Passo 2

Agora, vamos verificar se nosso palpite está certo ou não. Basta calcularmos as derivadas parciais conforme dita no Passo 1. Logo, temos:

Como

Temos que o campo é conservativo! E assim, confirmamos a nossa hipótese.

Resposta

O campo é conservativo.

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