Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 18
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
Passo 1
E aii, pessoal!
Nessa questão, nós temos um campo vetorial:
E precisamos descobrir se ele é conservativo. Se for, temos que achar a função potencial , de forma que:
Pra descobrir se um campo é conservativo, temos que começar calculando o rotacional:
Onde
Na função desse exercício:
Se , o campo é não é conservativo, e acaba nosso trabalho.
Se , o campo é conservativo, ou seja, existe uma função potencial , que vamos ter que achar!
Pra isso, usamos de que
E integramos dos dois lados uma dessas equações, por exemplo:
Só que a questão não vai acabar aí! Porque essa integral é em função de , então a constante de integração vai ser uma função das outras duas variáveis , que são consideradas constantes.
Pra descobrir quem é essa função, vamos pegar essa expressão de e fazer:
E finalmente encontramos a função .
Passo 2
Vamos começar a fazer rotacional.
A primeira coordenada dele é:
Derivando em função de , com e constantes, vamos usar a regra do produto:
Derivando em função de , com e constantes, também vamos usar a regra do produto:
Como as duas derivadas parciais deram iguais,
Passo 3
A segunda coordenada:
Primeiro derivando em função de , com e constantes:
E derivando em função de , mantendo constantes:
E aí:
Passo 4
E a última coordenada de
Derivamos em função de , com constantes:
E em função de , considerando constantes:
Daí,
Como as três componentes deram zero,
E o campo é conservativo.
Passo 5
Agora vamos descobrir quem é :
Integrando em função de , com constantes:
Como já comentamos, a constante de integração vai depender de .
Passo 6
Pra descobrir essa constante, vamos fazer:
Como isso é igual a :
Ou seja, é constante em função de , e só depende de :
Passo 7
Por último, vamos derivar em função de :
Igualando a :
Então, é constante!
Resposta
Campo é conservativo e