Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F(x, y, z) = < x * e^(-y), x * z, z * e^(y) >

Passo 1

Iai pessoal!!

A questão está pedindo para calcularmos o rotacional da função:

F x , y , z = ⟨ x e - y , x z , z e y ⟩

Vamos relembrar como faz isso. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i ^   j ^   k ^   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   P   Q   R  

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

Para isso, teremos que calcular primeiro as derivadas parciais como mostra a fórmula.

Depois é só substituir os valores e pronto.

Passo 2

Vamos fazer os cálculos do rotacional então! Para isto, vamos calcular cada um dos termos separadamente, a começar pelo termo na direção do vetor i ^ . Portanto,

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ = ∂ z e y ∂ y - ∂ x z ∂ z i ^ = z e y - x i ^

Já para o termo que acompanha j , temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ = ∂ x e - y ∂ z - ∂ z e y ∂ x j ^ = - 0 - 0 j ^

Por fim, o termo que acompanha k é:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^ = ∂ x z ∂ x - ∂ x e - y ∂ y k ^ = z + x e - y k ^

Logo, o rotacional é:

r o t   F = z e y - x i ^ + z + x e - y k ^

Resposta

r o t   F = z e y - x i ^ + z + x e - y k ^

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