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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 3a

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k

Passo 1

Iai pessoal, a questão quer o rotacional da função F x , y , z . Antes de começarmos vamos nos lembrar o que é um rotacional .

O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função.

r o t   F = ∇ × F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   P   Q   R  

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Então para essa questão iremos começar calculando o rotacional da função pela fórmula que vimos anteriormente :

F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k

Então o primeiro passo vai ser identificar quem são P , Q   e   R Lembrando que:

F = P i + Q j + R k

Depois iremos fazer as suas derivadas parciais do jeitinho que está na fórmula do rotacional.

Feito isso, é só substituir na fórmula e ser feliz!!

Passo 2

Vamos começar achando : F x , y , z = 〈 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 〉 ou podemos dizer também F = P i + Q j + R k .

Sabemos que a nossa função é:

F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k

Logo:

P = 1

Q = x + y z

R = x y - z

Passo 3

Vamos agora para o próximo passo que é achar as derivadas parciais do jeito que está na formulinha bonita aqui:

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Relembrando que :

P = 1

Q = x + y z

R = x y - z

Vamos começar por:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i

Assim:

∂ R ∂ y = ∂ ∂ y ( x y - z )

∂ ∂ y ( x y - z ) = x

e

∂ Q ∂ z = ∂ ∂ z ( x + y z )

∂ ∂ z ( x + y z ) = y

Substituindo na fórmula do rotacional :

r o t   F = x - y i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Passo 4

Agora vamos encontrar:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j

Assim:

∂ P ∂ z = ∂ ∂ z ( 1 )

∂ ∂ z ( 1 ) = 0

e

∂ R ∂ x = ∂ ∂ x ( x y - z )

∂ ∂ x ( x y - z ) = y

Substituindo em:

r o t   F = x - y i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Logo:

r o t   F = x - y i + 0 - y j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Passo 5

Por último vamos achar:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Assim:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x ( x + y z )

∂ ∂ x ( x + y z ) = 1

e

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y ( 1 )

∂ ∂ y ( 1 ) = 0

Substituindo em:

r o t   F = x - y i + 0 - y j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Logo:

r o t   F = x - y i + 0 - y j + 1 - 0 k

Opa , então nosso rotacional será:

r o t   F = x - y i - y j + k

Resposta

r o t   F = x - y i - y j + k

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