Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 6a

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k

Passo 1

Fala pessoal !!!

Primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional e o que é um divergente. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   P   Q   R ��

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Já o divergente pode ser visto como o produto interno de um operador gradiente uma função, logo,

d i v   F = ∇ ⋅ F

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Então para essa questão iremos começar calculando o rotacional da função pela fórmula que vimos anteriormente :

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k

Para isso, teremos que calcular as derivadas parciais do jeitinho que mostra fórmula.

Feito isso , nós vamos calcular o divergente somando as derivadas parciais que encontramos de acordo com a fórmula !!

Passo 2

Vamos fazer os cálculos do rotacional então! Para isto, vamos calcular cada um dos termos separadamente, a começar pelo termo na direção do vetor i . Portanto,

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i = - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 2 - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 2 i

Já para o termo que acompanha j , temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j = - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 2 - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 2 j

Por fim, o termo que acompanha k é:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k = - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2 - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2 k

Logo, o rotacional é:

r o t   F = - 4 y z x 2 + y 2 + z 2 2 i + - 4 x z x 2 + y 2 + z 2 2 j + - 4 x y x 2 + y 2 + z 2 2 k

Resposta

r o t   F = - 4 y z x 2 + y 2 + z 2 i + - 4 x z x 2 + y 2 + z 2 j + - 4 x y x 2 + y 2 + z 2 k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma função f tal que F = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y , z = s e ny i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - ( ys e nz ) k ^ C : r t = s e nti ^ + t j ^
Determine uma função f tal que F = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y , z = ( y 2 z + 2 x z 2 ) i ^ + ( 2 x y z ) j ^ + ( x y 2 + 2 x 2 z ) k ^ C : x = t ,y =
Determine uma função f tal que F = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ F d r sobre a curva C dada. F x , y , z = y z i ^ + x z j ^ + ( x y + 2 z ) k ^ C é a o segmento de linha de ( 1,0 , - 2 ) para
Determine uma função f tal que F = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y , z = ( y 2 z + 2 x z 2 ) i ^ + ( 2 x y z ) j ^ + ( x y 2 + 2 x 2 z ) k ^ C : x = t ,y =
Determine se F é um campo vetorial conservativo ou não. Se for, encontre a função f tal que F = ∇ f . F x y = 2 x y + y - 2 i ^ + x 2 - 2 x y - 3 j ^ , y0