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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 2c

Determine o centro de massa da função dada:

f (x) = (e^x + e^(- x))/(2) , - 1 <= x <= 1

Passo 1

Fala aí galera, bora pra mais uma questão de Cálculo 1 para tirarmos aquele notão na prova. Para encontrarmos o centro de massa, temos que aplicar a sseguinte fórmula:

x_C M = (int_a^b x sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x)/(int_a^b sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x)

y_C M = (int_a^b f ( x ) sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x)/(int_a^b sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x)

Passo 2

Para podemos utilizar esta fórmula, temos que derivar a função que ele nos deu. Temos:

f (x) = (e^x + e^(- x))/(2)

Para encontrarmos esta derivada, vamos utilizar o método da derivada do quociente, dado por:

(u)/(v) = (u^' v - u v^')/(v^2)

Logo:

f^' (x) = ((e^x + e^(- x))^' (2) - (e^x + e^(- x)) (2)^')/(2^2) f^' (x) = ((e^x - e^(- x)) 2)/(4) f^' (x) = (e^x - e^(- x))/(2)

Passo 3

Por fim, basta substituirmos nas fórmulas para encontrarmos o CM, onde a e b são os limites que a questão nos deu no enunciado, são eles - 1 e 1 , respectivamente. Portanto, para x_C M , temos:

x_C M = (int_a^b x sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x)/(int_a^b sqrt(1 + [f^' (x)]^2) d x) x_C M = (int_(- 1)^1 x sqrt(1 + [(e^x - e^(- x))/(2)]^2) d x)/(int_(- 1)^1 sqrt(1 + [(e^x - e^(- x))/(2)]^2 d x))

Resolvendo a integral do numerador, temos:

x_C M = (0)/(int_(- 1)^1 sqrt(1 + [(e^x - e^(- x))/(2)]^2))

Logo, podemos concluir que x_C M = 0

Passo 4

Para y_C M , basta repetirmos o processo, temos: y_C M = (int_(- 1)^1 (e^x + e^(- x))/(2) sqrt(1 + [(e^x - e^(- x))/(2)]^2) d x)/(int_(- 1)^1 sqrt(1 + [(e^x - e^(- x))/(2)]^2 ) d x)

Para resolvermos a integral do numerador, temos que fazer uma substituição simples e uma substituição trigonémtrica. Temos:

int_(- 1)^1 (e^x + e^(- x))/(2) sqrt(1 + [(e^x - e^(- x))/(2)]^2) d x

Onde:

u = (e^x - e^(- x))/(2) d u = ((e^x + e^(- x))/(2)) d x

Substituindo:

int_(x = - 1)^(x = 1) sqrt(1 + u^2) d u

Resolvendo as integrais do numerador e denominador, temos que:

y_C M = (e^2 + 4 - e^(- 2))/(4 ( e - e^(- 1) ))

Resposta

x_C M = 0

y_C M = (e^2 + 4 - e^(- 2))/(4 ( e - e^(- 1) ))

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