Determine o centro de massa da função dada:

f(x) = (e^x + e^(-x)) / 2, -1 <= x <= 1

Passo 1

Fala aí galera, bora pra mais uma questão de Cálculo 1 para tirarmos aquele notão na prova. Para encontrarmos o centro de massa, temos que aplicar a sseguinte fórmula:

x C M = ∫ a b x 1 + f ' x 2   d x   ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

y C M = ∫ a b f ( x ) 1 + f ' x 2   d x   ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Passo 2

Para podemos utilizar esta fórmula, temos que derivar a função que ele nos deu. Temos:

f x = e x + e - x 2

Para encontrarmos esta derivada, vamos utilizar o método da derivada do quociente, dado por:

u v = u ' v - u v ' v 2  

Logo:

f ' x = e x + e - x ' 2 - e x + e - x 2 ' 2 2 f ' x = e x - e - x 2 4 f ' x = e x - e - x 2

Passo 3

Por fim, basta substituirmos nas fórmulas para encontrarmos o CM, onde a e b são os limites que a questão nos deu no enunciado, são eles - 1 e 1 , respectivamente. Portanto, para x C M , temos:

x C M = ∫ a b x 1 + f ' x 2   d x   ∫ a b 1 + f ' x 2   d x x C M = ∫ - 1 1 x 1 + e x - e - x 2 2   d x   ∫ - 1 1 1 + e x - e - x 2 2   d x

Resolvendo a integral do numerador, temos:

x C M = 0   ∫ - 1 1 1 + e x - e - x 2 2

Logo, podemos concluir que x C M = 0

Passo 4

Para y C M , basta repetirmos o processo, temos: y C M = ∫ - 1 1 e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2   d x   ∫ - 1 1 1 + e x - e - x 2 2     d x

Para resolvermos a integral do numerador, temos que fazer uma substituição simples e uma substituição trigonémtrica. Temos:

∫ - 1 1 e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2   d x

Onde:

u = e x - e - x 2 d u = e x + e - x 2 d x

Substituindo:

∫ x = - 1 x = 1 1 + u 2   d u

Resolvendo as integrais do numerador e denominador, temos que:

y C M = e 2 + 4 - e - 2 4 ( e - e - 1 )

Resposta

x C M = 0

y C M = e 2 + 4 - e - 2 4 ( e - e - 1 )

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