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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 1d

Determine o centro de massa da região A dada

A = { ( x , y ) in R^2 |x^2 <= y <= x })

Passo 1

Primeiro, vamos pegar as inequações e isolar o y

y = f ( x ) = x^2

y = g ( x ) = x

Passo 2

Agora é só substituir nas fórmulas de centro de massa. Os limites de integração são dados pelas interseções entre as funções, ou seja, [0,1]

Para x_c

x_c = (int_a^b x [ f (x) - g (x) ] d x)/(int_a^b [ f (x) - g (x) ] d x)

x_c = (int_0^1 x ( x^2 - x ) d x)/(int_0^1 f ( x^2 - x ) d x)

Resolvendo essas integrais vamos ter x_c = (1)/(2)

Passo 3

Para y_c

y_c = ((1)/(2) int_a^b ( f (x) - g (x) ) ( f (x) + g (x) ) d x)/(int_a^b [ f (x) - g ( x ) ] d x)

y_c = ((1)/(2) int_0^1 ( x^2 - x ) ( x^2 + x )^() d x)/(int_0^1 [ x^2 - x ] d x)

y_c = ((1)/(2) int_0^1 x^4 - x^2 d x)/(int_0^1 [ x^2 - x ] d x)

Resolvendo essas integrais temos que y_c = (6)/(15)

Resposta

x_c = (1)/(2)

y_c = (6)/(15)

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