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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 2a

Determine o centro de massa do gráfico da função dada.

f x = 4 - x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Essa questão é bem direta, ele pede para acharmos o centro de massa no intervalo - 2 ≤ x ≤ 2 . Para isso, basta aplicar a fórmula do CM que é

x c = ∫ a b x 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2     d x

y c = ∫ a b f ( x ) 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2     d x

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função que ele deu para gente. Para isso, basta utilizar a regra da cadeia.

f x = 4 - x 2  

f ' x = 1 2 4 - x 2   .   ( - 2 x )

f ' x = - 2 x 2 4 - x 2

Agora é substituir nas fórmulas. Vamos começar com x c

x c = ∫ - 2 2 x 1 + - 2 x 2 4 - x 2 2   d x ∫ - 2 2 1 + - 2 x 2 4 - x 2 2     d x

x c = ∫ - 2 2 x 1 + x 2 4 - x 2   d x ∫ - 2 2 1 + x 2 4 - x 2     d x

x c = ∫ - 2 2 x 4 4 - x 2   d x ∫ - 2 2 4 4 - x 2     d x

x c = ∫ - 2 2 2 x 4 - x 2     d x ∫ - 2 2 2 4 - x 2       d x

Agora é só resolver essas integrais. Para o numerador, temos

∫ - 2 2 2 x 4 - x 2     d x

2 ∫ - 2 2 x 4 - x 2     d x

Vamos usar a regra da substituição

u = 4 - x 2

d u = - 2 x d x

d x = - d u 2

2 ∫ - 2 2 - d u 2 4 - x 2    

- ∫ - 2 2 d u u   d x

- 2 4 - x 2 - 2 2

- 2 4 - 2 2 - 4 - - 2 2

- 2 4 - 4 - 4 - 4

= 0

Como o numerador deu 0, a gente não precisa resolver o denominador. Logo

x c = 0

Passo 3

Para y c é só repetir os mesmos passos

y c = ∫ a b f ( x ) 1 + f ' x 2   d x ∫ a b 1 + f ' x 2    

y c = ∫ - 2 2 4 - x 2 1 + - 2 x 2 4 - x 2 2   d x ∫ - 2 2 1 + - 2 x 2 4 - x 2 2     d x

y c = ∫ - 2 2 4 - x 2 4 4 - x 2   d x ∫ - 2 2 4 4 - x 2     d x

y c = ∫ - 2 2 4     d x ∫ - 2 2 4 4 - x 2     d x

y c = ∫ - 2 2 2     d x ∫ - 2 2 2 4 - x 2     d x

y c = 2 x ​ - 2 2 = 8 arcsin ⁡ x 2 ​ - 2 2 = 2 π

y c = 4 π

Resposta

x c = 0 y c = 4 π

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