Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 77
Calcule descrevendo-a como uma soma de duas integrais e interpretando uma dessas integrais em termos de uma área.
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema temos que calcular a integral:
Como uma soma de duas integrais, interpretando como a área abaixo das curvas.
Tem ideia de como fazemos isso?
Quando o enunciado diz que temos que descrever a integral como uma soma de integrais, é porque no primeiro termo da função temos: .
Assim, desenvolvemos o produto desse termo com a raiz e assim vamos obter uma soma de funções.
Depois disso, vamos interpretar e como a área abaixo das curvas, ou seja, não vamos calcular a integral de fato, vamos identificar as curvas suas áreas no intervalo de integração.
Veja só!
Passo 2
Vamos começar separando a integral...
Aplicando a propriedade da soma:
Show?
Passo 3
Agora temos que identificar as curvas de cada integral:
Para a primeira integral:
Perceba que é uma função ímpar, ou seja:
Então, como nosso intervalo de integração é simétrico em relação à origem, pelo teorema 7 dessa seção, essa integral é igual a .
Pois:
Ou seja, a área de entre e é igual a menos a área de entre e .
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora vamos analisar a segunda integral.
Nesse caso, vamos escrever a função .
Elevando os dois lados ao quadrado...
Perceba que essa equação é a equação da circunferência de raio , centrada na origem!
A curva diz respeito a parte positiva de , ou seja, a semicircunferência de raio acima do eixo pois .
Então a área dessa curva é dada por:
Temos então:
Calculando:
Com isso, nossa integral é:
Bacana, não é?
Passo 5
Por fim, temos que juntar as duas integrais para resolver o problema:
Substituindo as integrais pelas áreas abaixo de suas curvas:
E fim! O que achou? Responde Aí!