Determine o centro de massa da região A dada

a) A = {(x, y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x^3}

Passo 1

Para encotrarmos o centro de massa precisamos achar x c   e     y c que são descritos por:

x c = ∫ a b x g x - f x d x Á r e a   d e   A

y c = 1 2 ∫ a b g x + f x g x - f x d x Á r e a   d e   A

A figura fica assim:

Limitada por 0 ≤ y ≤ x 3 e x = 1 .

Daí vemos que a Área de A vai ser igual:

Á r e a   d e   A =   ∫ 0 1 x 3 d x = x 4 4 1 0 = 1 4

Ok! Agora que temos a Área de A vamos achar as integrais restantes:

Como g x = x 3 e f x é o próprio eixo x , podemos dizer que f x = 0 , daí:

∫ a b x g x - f x d x = ∫ 0 1 x x 3 - 0 d x = ∫ 0 1 x 4 d x = x 5 5 1 0 = 1 5

∫ a b g x + f x g x - f x d x = ∫ 0 1 x 3 + 0 x 3 - 0 d x = ∫ 0 1 x 6 d x = x 7 7 1 0 = 1 7

Passo 2

Agora substituímos nas equações de x c   e   y c :

x c = ∫ a b x g x - f x d x Á r e a   d e   A = 1 5 1 4 = 4 5

y c = 1 2 ∫ a b g x + f x g x - f x d x Á r e a   d e   A = 1 2 × 1 7 1 4 = 2 7

Resposta

x c , y c = 4 5 , 2 7

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