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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.6 - Ex. 1d

Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica

c)   x = t 2 2   y = 2 5 t 5 2   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Para calcular o comprimento do gráfico precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a d x d t 2 + d y d t 2 d t

Vamos calcular as derivas de x e y em t .

x = t 2 2 → d x d t = 2 t 2 - 1 2 = t

y = 2 5 y 5 2 → d y d t = 2 5 5 2 t 5 2 - 1 = t 3 2

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 0 1 t 2 + t 3 2 2 d t

Agora vamos integrar!

Passo 2

Antes vamos dar uma mexidinha na função

d = ∫ 0 1 t 2 + t 3 2 2 d t = ∫ 0 1 t 2 + t 3 d t

Botando t 2 em evidência, temos:

d = ∫ 0 1 t 1 + t d t

Para resolver, usaremos o método de substituição. Chamaremos:

u = t + 1 → u - 1 = t

d u = d t

Substituindo na integral

d = ∫ u - 1 u d u

d = ∫ u u d u - ∫ u d u

d = ∫ u 3 2 d u - ∫ u 1 2 d u

Agora façamos essa integral, que é imediata!

d = ∫ u 3 2 d u - ∫ u 1 2 d u = 1 3 2 + 1 u 3 2 + 1 - 1 1 2 + 1 u 1 2 + 1 = 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2

Retornando para a variável inicial, temos isso aqui:

∫ 0 1 t 1 + t d t = 2 5 t + 1 5 2 - 2 3 t + 1 3 2 1 0 = 4 2 15 + 4 15

Resposta

d = 4 2 15 + 4 15 = 4 15 2 + 1

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20. y = sqrt(x) , 2 = x = 4
18. y = e^x d e P_0 (0 , 1) a t e P_1 (2 , e^2)
16. y = (1)/(x) d e P_0 ((1)/(4) , 4) a t e P_1 (4 , (1)/(4))
9. y = 1 - ln (sen x) , (pi)/(6) = x = (pi)/(4)
19. y = x^2 + 2 x - 1 , 0 = x = 1