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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.6 - Ex. 1c

Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica

c)   x = 1 - cos ⁡ t   y = t - sin ⁡ t   0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Para o calcular o comprimento do gráfico precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a d x d t 2 + d y d t 2 d t

Sendo y = 2 3 x 3 2 , vamos calcular sua derivada!

d x d t = 0 - - sin ⁡ t = sin ⁡ t

d y d t = 1 - cos ⁡ t

Passo 2

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 0 π sin ⁡ t 2 + 1 - cos ⁡ t 2 d t

d = ∫ 0 π sin 2 ⁡ t + 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Lembrando da relação fundamental da trigonometria! Não esquece essa parada!

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

d = ∫ 0 π sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 1 - 2 cos ⁡ t d t

d = ∫ 0 π 2 - 2 cos ⁡ t d t

d = ∫ 0 π 2 ( 1 - cos ⁡ t ) d t

Tirando o 2 de dentro da integral temos:

d = 2 ∫ 0 π ( 1 - cos ⁡ t ) d t

Passo 3

Chegamos a parte de fazer o cálculo dessa integral:

Vou usar uma relação não muito conhecida, porém bastante importante:

1 - cos ⁡ t = 2 sin 2 ⁡ t 2

Substituindo na integral, vamos ter isso aqui:

d = 2 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ t 2 d t

t vai de 0 a π , então t 2   vai de 0 a π 2 , então o s i n t 2 é sempre positivo, quando retirarmos da raiz não vai ficar o módulo, mas vai ficar s i n t 2

d = 2 ∫ 0 π 2 s i n t 2 d t

Retiramos da integral o 2 e quando ele for para fora ficará 2 × 2 = 2

d = 2 ∫ 0 π s i n t 2 d t

∫ s i n t 2 d t = - 2 cos ⁡ t 2

Voltando para a integral, temos:

d = 2 - 2 cos ⁡ t 2 π 0

d = - 4 cos ⁡ t 2 π 0 = - 4 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 = - 4 0 - 1 = 4

Resposta

d = 4

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15. y = x^2 , 0 = x = x
10. y = sqrt(x^3) , d e P_0 (0,0) a t e P_1 ( 4,8 )
17. x^2 - y^2 = 1 d e P_0 (3 , - 2 sqrt(2)) a t e P_1 (3,2 sqrt(2))
14. x^2 = y^3 d e P_0 (0 , 0) a t é P_1 ( 8 , 4 ) é .
11. y = 4 sqrt(x^3) + 2 d e P_0 (0,2) a t é P_1 ( 1,6 ) é .