Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.6 - Ex. 2
2. Uma partícula desloca no plano com equações paramétricas e . Sabe-se que, para todo , , e . Sabe-se ainda que no instante a partícula encontra-se na posição . Determine a distância percorrida pela partícula entre os instantes e , onde é o instante em que a partícula volta a tocar o eixo . Como é a trajetória descrita pela partícula?
Passo 1
Vamos pensar um pouco em física nessa questão. E precisamos achar quem são e
Vamos começar por .
é a velocidade no eixo , como não depende de , a velocidade em é constante e a partícula está na origem, logo a equação da posição da partícula em , é:
Agora vamos para o eixo , temos um certo problema, pois é a aceleração da partícula, então a velocidade não é constante, é um movimento com aceleração negativa e constante.
Beleza, já temos a aceleração e a velocidade? Foi dada a do início, e . Isso é um movimento retardado com a fórmula:
Onde, é a posição, é a posição inicial, é a velocidade inicial, é a celaração e é o tempo. Temos então que
Logo,
Passo 2
Vamos partir para sabermos que , que ele fala no enunciado, significa.
é o tempo em que a partícula toca o eixo , portanto . Vamos calcular esse .
Pronto, a física acaba aqui!! Não sei se isso é bom ou ruim, mas vamos para o cálculo agora! é a distância percorrida!
Essa é fórmula do comprimento do gráfico. Então vamos substituir
Logo,
Tirando a raiz quadrada de para fora da integral, temos:
Vamos reescrever como:
Substituindo na integral, temos:
Agora vamos resolver!
Passo 3
Chegamos a parte de fazer o cálculo dessa integral:
Vamos substituir , e dessa forma nossos limites de integração novos serão:
Epa, mas ainda ta uma integral meio esquisita né? Então vamos substituir , e aí nossos limites de integração vão ser:
Beleza, mas sabemos que , então:
Que coisa, por fim temos a integral da secante ao cubo hehe bora resolver!!
Passo 4
Temos
Primeiro vamos calcular sua integral indefinida e aí depois colocamos os limites de integração, poder ser?
Aplicando a redução de integrais, temos
Então:
E sabemos que :
Passo 5
Temos
Sabemos que :
Agora vamos aplicar os limites de integração:
E esse é o valor da nossa integral e consequentemente, o nosso :D