A molécula de DNA tem a forma de duas hélices circulares (veja figura 3 na seção 13.1 ). O raio de cada uma das hélices é de cerca de 10 â n g t r ö m s â ö 1 A = 10 - 8 c m . Cada hélice, em uma volta completa, sobe 34 A , e existem cerca de 2,9.10 8 voltas completas em uma molécula. Estime o comprimento de cada hélice circular.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 67

A molécula de DNA tem a forma de duas hélices circulares (veja figura na seção ). O raio de cada uma das hélices é de cerca de Cada hélice, em uma volta completa, sobe , e existem cerca de voltas completas em uma molécula. Estime o comprimento de cada hélice circular.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar o comprimento de uma curva devemos fazer a seguinte integração:

Como o DNA é uma hélice, podemos equacionar o vetor posição da seguinte forma:

E sua derivada é:

E já podemos calcular o módulo desse vetor, já que ele vai dentro do integrando do comprimento que queremos:

Agora precisamos definir quem são as constantes e . Vamos lá?

Passo 2

A constante é o raio de cada uma das hélices, tendo o um valor de .

Já o valor de é o quanto a hélice sobe em cada volta. Então, já que no enunciado diz que cada volta completa ele sobe , então o valor de é .

Então agora podemos substituir esses valores na expressão para do passo anterior:

Agora vamos passar para a integral?

Passo 3

Resgatando a integral de do passo temos:

O valor de varia entre e um valor . No nosso caso temos que a molécula de DNA tem num total de voltas, então o valor de . Agora sim é só juntar o resultado do passo com os dados que acabamos de determinar e resolver a integral:

Como o valor de é constante, ele pode sair pra fora da integral:

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

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