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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 67

A molécula de DNA tem a forma de duas hélices circulares (veja figura 3 na seção 13.1 ). O raio de cada uma das hélices é de cerca de 10 â n g t r ö m s 1 A = 10 - 8 c m . Cada hélice, em uma volta completa, sobe 34 A , e existem cerca de 2,9.10 8 voltas completas em uma molécula. Estime o comprimento de cada hélice circular.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar o comprimento de uma curva devemos fazer a seguinte integração:

L = ∫ 0 t ' r → ' t d t

Como o DNA é uma hélice, podemos equacionar o vetor posição da seguinte forma:

r → ( t ) = a   c o s t   i → +   s e n t   j → +   b t   k →

E sua derivada é:

r → ' t = - a   s e n t   i → + a   c o s t   j → + b k →

E já podemos calcular o módulo desse vetor, já que ele vai dentro do integrando do comprimento que queremos:

| r → ' t | = - a   s e n   t 2 + a cos ⁡ t 2 + b 2 = a 2 + b 2

Agora precisamos definir quem são as constantes a e b . Vamos lá?

Passo 2

A constante a é o raio de cada uma das hélices, tendo o um valor de a = 10.10 - 8 c m .

Já o valor de b é o quanto a hélice sobe em cada volta. Então, já que no enunciado diz que cada volta completa ele sobe 34.10 - 8 , então o valor de b é b = 34.10 - 8 2 π .

Então agora podemos substituir esses valores na expressão para | r → ' t | do passo anterior:

| r → ' t | = 34.10 - 8 2 + 34.10 - 8 2 π 2

Agora vamos passar para a integral?

Passo 3

Resgatando a integral de L do passo 1 temos:

L = ∫ 0 t ' r → ' t d t

O valor de t varia entre 0 e um valor t ' . No nosso caso temos que a molécula de DNA tem num total de   2,9.10 8 voltas, então o valor de t ' =   2,9.10 8 . 2 π . Agora sim é só juntar o resultado do passo 2 com os dados que acabamos de determinar e resolver a integral:

L = ∫ 0 t ' r → ' t d t

Como o valor de r → ' t é constante, ele pode sair pra fora da integral:

L = 34.10 - 8 2 + 34.10 - 8 2 π 2 . ∫ 0 2,9.10 8 . 2 π d t

L = 34.10 - 8 2 + 34.10 - 8 2 π 2 . 2,9.10 8 . 2 π = 207,1 c m

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

207,1 c m

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