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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 66

Determine a torção e a curvatura da curva x = s e n h   t ,   y = cosh ⁡ t ,     z = t no ponto ( 0 , 1,0 ) .

Passo 1

Olá, tudo bem? Pra calcular a cuvatura κ e a torção τ de uma curva em função do parâmetro t , vamos relembrar como são as suas respectivas fórmulas.

Para a curvatura:

κ t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' 3

E para a torção:

τ t = r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' r → ' t × r → ' ' t ²    

Então nosso primeiro passo vai ser determinar quem é nosso vetor posição r → ( t ) e as derivadas temporais:

r → t = s e n h t ; c o s h t ; t

r → ' t = c o s h t ; s e n h t ; 1

r → ' ' t = s e n h t ; c o s h t ; 0

r → ' ' ' t = ( c o s h t ; s e n h t ; 0 )

Certo até aqui?

Passo 2

O próximo passo é calcular as quantidades r → ' × r → ' ' ,   r → ' × r → ' ' 2 ,   r → ' × r → ' ' e   r → ' 3 .

Começando pelo produto vetorial:

r → ' × r → ' ' = i → j → k → c o s h t s e n h t 1 s e n h t c o s h t 0 = i → - c o s h t + j → s e n h t + k → ( c o s h t 2 - s e n h t 2 )

r → ' × r → ' ' = ( - c o s h t ; s e n h t ; 1 )

Agora calculando r → ' × r → ' ' 2 :

r → ' × r → ' ' 2 = - c o s h t 2 + s e n h t 2 + 1

r → ' × r → ' ' 2 = c o s h t + s e n h t 2 + 1

E também:

r → ' × r → ' ' = - c o s h t 2 + s e n h t 2 + 1

r → ' × r → ' ' = c o s h t 2 + s e n h t 2 + 1

E por último:

r → ' 3 = c o s h t 2 + s e n h t 2 + 1 3 2

Passo 3

Agora que sabemos os resultados do passo 2 podemos calcular o produto vetorial que aparece na fórmula da torção, que é a única coisa que falta a ser calculada:

r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' = - c o s h t ; s e n h t ; 1 ⋅ c o s h t ; s e n h t ; 0 = - c o s h t 2 + s e n h t 2 + 0

E lembrando que c o s h t 2 - s e n h t 2 = 1 temos:

r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' = - c o s h t 2 - s e n h t 2 = - 1

Passo 4

Pronto! Agora vamos resgatar as fórmulas da curvatura e da torção do passo 1 e substituir com as quantidades que calculamos nos passos anteriores.

Pra curvatura κ t :

κ t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' 3 = c o s h t 2 + s e n h t 2 + 1 c o s h t 2 + s e n h t 2 + 1 3 2 = 1 c o s h t 2 + s e n h t 2 + 1

Mas sabendo que o ponto é ( 0 , 1,0 ) e que s e n h t = 0   e   c o s h t = 1 ficamos:

κ t = 1 1 + 1 = 1 / 2

E para a torção τ t :

τ t = r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' r → ' t × r → ' ' t ² = - 1 s e n h t 2 + c o s h t 2 + 1

τ t = - 1 1 + 1 = - 1 / 2

Assim temos curvatura κ t = 1 / 2 e torção τ t = - 1 / 2

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

curvatura κ t = 1 / 2 e torção τ t = - 1 / 2

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