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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.7 - Ex. 4c

Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas:

ρ = 3

ρ = 2 - 2 c o s ⁡ ( θ )

Passo 1

Primeiramente, vamos igualar as funções para descobrir o ponto de interseção entre elas:

3 = 2 - 2 c o s ⁡ ( θ )

Cos( θ ) =   - 1 2

Sabemos que os valores de θ = 4 π 3   e     θ = 2 π 3 satisfazem a equação

Passo 2

Para facilitar a vizualização, vizualizaremos os gráficos superpostos.

Pegando apenas a parte acima do eixo horizontal, podemos ver que a área entre as curvas é a área da curva verde de 0 até 2 π 3 mais a área da curva preta de 2 π 3   até π . Como há simetria, podemos calcular esta área acima do eixo e multiplicar por 2.

Passo 3

Sabemos que a fórmula para a área em coordenadas polares é:

0,5 ∫ a b ρ ² d θ

Aplicando os limites de integração:

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

0,5   ∫ 0 2 π 3 ( 2 - 2 c o s ⁡ ( θ ) ) ² d θ +   ∫ 2 π 3 π 3 ² d θ =   0,5   ∫ 0 2 π 3 4   - 8 cos ⁡ θ + 4 cos ⁡ θ 2 d θ +   ∫ 2 π 3 π 3 ² d θ

Como cos²( θ ) = 1 2 + c o s 2 θ 2

0,5   ∫ 0 2 π 3 4   - 8 cos ⁡ θ + 4 ( 1 2 + c o s 2 θ 2 ) d θ +   ∫ 2 π 3 π 3 ² d θ

Resolvendo a integral simples e subsitituindo os limites de integração:

0,5   ∫ 0 2 π 3 4   - 8 cos ⁡ θ + 4 ( 1 2 + c o s 2 θ 2 ) d θ +   ∫ 2 π 3 π 3 ² d θ = 14 π 4 - 9 3 4

Multiplicando por 2, temos:

7 π - 9 3 2

Resposta

A área vale 7 π - 9 3 2

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