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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 20

Determine o comprimento do laço delimitado x = t 2 ,   y = t 3 3 - t mostrado aqui. O laço começa em t = - 3 e termina em t = 3 .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ t 1 t 2 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para isso, vamos derivar x em relação a t:

d x d t = 2 t

De modo que:

d x d t 2 = 2 t 2 = 4 t 2

De forma similar, vamos derivar y em relação a t:

d y d t = 3 t 2 3 - 1 = t 2 - 1

De modo que:

d y d t 2 = t 2 - 1 2 = t 4 - 2 t 2 + 1

Passo 2

Daí, temos que:

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 t 2 + t 4 - 2 t 2 + 1 = t 4 + 2 t 2 + 1 = t 2 + 1 2 = t 2 + 1

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ - 3 3 t 2 + 1 d t

Logo:

L = t 3 3 + t | - 3 3 = 3 3 3 + 3 - - 3 3 3 + - 3 =

= 3 3 3 + 3 - - 3 3 3 - 3 = 2 3 + 2 3 = 4 3

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

4 3

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