Determine os comprimentos das curvas nos Exercícios 55 e 56.

56-

x = (y / 4)^2 - 2 * ln(y / 4), 4 ≤ y ≤ 12

Passo 1

O comprimento da curva pode ser dado como:

L = ∫ 1 + d x d y 2   d y

Fazendo a derivada da função em relação a y temos:

d x d y = 2 y 4 × 1 4 - 2 × 1 y 4 × 1 4

d y d x = y 8 - 2 y = y 2 - 16 8 y

Elevando ao quadrado essa derivada temos:

d y d x 2 = y 2 - 16 2 64 y 2

Passo 2

Arrumando tudo na integral do comprimento do arco temos:

L = ∫ 4 12 1 + y 2 - 16 2 64 y 2   d y = ∫ 4 12 9 y 2 - 16 2 8 y 2 = ∫ 4 12 9 y 2 8 y - 16 8 y   d y = ∫ 4 12 9 8 y - 2 y   d y

Passo 3

Agora finalmente fazendo a integral e aplicando seu intervalo temos:

L = 9 8 y 2 2 4 12 - 2 [ ln ⁡ y ] 4 12 = 9 16 12 2 - 4 2 - 2 ln ⁡ 12 + 2 ln ⁡ 4

L = 72 - 2 ln ⁡ 2 + 2 ln ⁡ 4

Resposta

L = 72 - 2 ln ⁡ 2 + 2 ln ⁡ 4

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