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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 18

Ache o comprimento da curva.

18 . y = ln ((e^x + 1)/(e^x - 1)) , a <= x <= b , a > 0

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = int_a^b sqrt(1 + (f ' (x))^2) d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ (x) ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f (x) = ln ((e^x + 1)/(e^x - 1)) = ln (e^x + 1) - ln ( e^x - 1 ) (aqui usei a propriedade ln (a)/(b) = ln a - ln b ) ,

então f ' (x) = ((e^x + 1) ')/(e^x + 1) - ((e^x - 1) ')/(e^x - 1) = (e^x)/(e^x + 1) - (e^x)/(e^x - 1) = ((e^x - 1) e^x - e^x (e^x + 1))/(e^(2 x) - 1) = (e^(2 x) - e^x - e^(2 x) - e^x)/(e^(2 x) - 1)

f ' (x) = (- 2 e^x)/(e^(2 x) - 1) -> [f ' (x)]^2 = (4 e^(2 x))/((e^(2 x) - 1)^2)

Já o intervalo de integração será de x = a até x = b , abscissas dadas no enunciado.

Sendo assim, o comprimento será dado por:

L = int_a^b sqrt(1 + (4 e^(2 x))/((e^(2 x) - 1)^2)) d x = int_a^b sqrt(((e^(2 x) - 1)^2 + 4 e^(2 x))/((e^(2 x) - 1)^2)) d x = int_a^b sqrt((e^(4 x) - 2 e^(2 x) + 1 + 4 e^(2 x))/((e^(2 x) - 1)^2)) d x

L = int_a^b sqrt((e^(4 x) + 2 e^(2 x) + 1)/((e^(2 x) - 1)^2)) d x = int_a^b sqrt(((e^(2 x) + 1)^2)/((e^(2 x) - 1)^2)) d x = int_a^b (e^(2 x) + 1)/(e^(2 x) - 1) d x

Dividindo por e^x , temos:

L = int_a^b (overset(cosh x)(obrace e^x + e^(- x)))/(underset(senh x)(ubrace e^x - e^(- x))) d x = int_a^b (cosh x)/(senh x) d x

Passo 3

Uma primitiva para (cosh x)/(senh x) é ln | senh x | . Pois, (ln |senh x|) ' = (cosh x)/(senh x) . Ela também pode ser obtida fazendo a substituição u = senh x .

Agora para resolver, sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = int_a^b (cosh x)/(senh x) d x = ln |senh b| - ln |senh a| = ln (|senh b|)/(|senh a|) = ln |(senh b)/(senh a)| = ln |(e^b - e^(- b))/(e^a - e^(- a))|

L = ln |(e^b - e^(- b))/(e^a - e^(- a))| u . c

Prontinho.

Resposta

L = ln |(e^b - e^(- b))/(e^a - e^(- a))| u . c

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