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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.1 - Ex. 16

Ache o comprimento da curva.

y^2 = 4 x , 0 <= y <= 2

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Aqui podemos escolher se escolhemos y como função de x ou o contrário. Vou escolher usar x como função de y , assim x = y^2 // 4 e usaremos a fórmula

L = int_a^b sqrt(1 + (x^')^2) d y

Derivando x com relação a y :

x^' = 2 * (y)/(4) = (y)/(2)

Assim,

1 + (x^')^2 = 1 + (y^2)/(4) = (4 + y^2)/(4)

Portanto,

sqrt(1 + (x^')^2) = (sqrt(4 + y^2))/(2)

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = (1)/(2) int_0^2 sqrt(4 + y^2) d y

Essa é uma integral que se resolve com substituição trigonométrica. Vamos chamar y = 2 t g t , de modo que d y = 2 sec^2 t d t . Assim, sqrt(4 + y^2) = sqrt(4 + 4 t g^2 t) = 2 sqrt(1 + t g^2 t) = 2 sqrt(sec^2 t) = 2 sec t .

Desta forma,

L = (1)/(2) * int_0^((pi)/(4)) (2 sec t) (2 sec^2 t d t) = 2 int_0^((pi)/(4)) sec t sec^2 t d t

Para calcular a integral de secante ao cubo, vamos usar integral por partes:

int u d v = u v - int v d u

Passo 3

Chamando u = sec t e d v = sec^2 t d t , temos que d u = sec t t g t d t e v = t g t . Assim,

L = 2 int_0^((pi)/(4)) sec^3 t d t = 2 [sec t t g t]_0^((pi)/(4)) - 2 int_0^((pi)/(4)) t g^2 t sec t

= 2 (((1)/(cos t) t g t)|_0^((pi)/(4)) - 2 int_0^((pi)/(4)) t g^2 t sec t d t

L = 2 sqrt(2) - 2 int_0^((pi)/(4)) t g^2 t sec t d t

Por outro lado, podemos escrever t g^2 t = sec^2 - 1 , assim

int_0^((pi)/(4)) sec^3 t d t = 2 sqrt(2) - 2 int_0^((pi)/(4)) sec^3 t d t + 2 int_0^((pi)/(4)) sec t d t

Veja que uma integral se repete, então podemos passar ela para o outro lado:

3 int_0^((pi)/(4)) sec^3 t d t = 2 sqrt(2) + 2 int_0^((pi)/(4)) sec t d t = 2 sqrt(2) + 2 [ln (sec t + t g t)]_0^(pi // 4) = 2 sqrt(2) + 2 ln ( 1 + sqrt(2) )

Assim,

L = int_0^((pi)/(4)) sec^3 t d t = (1)/(3) (2 sqrt(2) + 2 ln (1 + sqrt(2)))

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Resposta

(1)/(3) (2 sqrt(2) + 2 ln (1 + sqrt(2)))

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