Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.1 - Ex. 38
O Gateway Arch, em St. Louis, foi construído usando a equação
para a curva central do arco, em que e estão medidos em metros e . Escreve uma integral para o comprimento de arco e usa sua calculadora para estimar o comprimento com precisão de 1 metro.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente escrever uma integral para o comprimento de arco do Gateway Arch e usar uma calculadora para estimar seu comprimento com precisão de metro.
Antes de mais nada, para não ficarmos escrevendo esse monte de número quebrado, vamos reescrever a função como
onde, , e . Queremos o comprimento de arco com indo de até . Assim, vamos usar a fórmula do comprimento de arco:
E derivando a função , vamos substituir os valores e calcular a integral para obter o comprimento.
Vamos lá!
Passo 2
Usando os dados do nosso intervalo, temos:
Aí só falta a gente derivar a função. Assim, vamos ter:
Elevando esse resultado ao quadrado e somando , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, temos:
Passo 3
Então, substituindo na fórmula, teremos:
Fazendo , a integral é reescrita como
Note que a questão permitiu que você usasse uma calculadora gráfica, então não teremos que calcular essa integral (o que seria bem complicado). Usando os valores das constantes: e . Fazendo a integral com auxílio de um software, obtemos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉