Enunciado

O Gateway Arch, em St. Louis, foi construído usando a equação

y = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x

para a curva central do arco, em que x e y estão medidos em metros e x < 91,20 . Escreve uma integral para o comprimento de arco e usa sua calculadora para estimar o comprimento com precisão de 1 metro.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente escrever uma integral para o comprimento de arco do Gateway Arch e usar uma calculadora para estimar seu comprimento com precisão de 1 metro.

Antes de mais nada, para não ficarmos escrevendo esse monte de número quebrado, vamos reescrever a função como

y = a - b cosh ⁡ k x

onde, a = 211,49 , b = 20,96 e k = 0,03291765 . Queremos o comprimento de arco com x indo de - 91,20 até + 91,20 . Assim, vamos usar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

E derivando a função y , vamos substituir os valores e calcular a integral para obter o comprimento.

Vamos lá!

Passo 2

Usando os dados do nosso intervalo, temos:

L = ∫ - 91,2 91,2 1 + y ' 2   d x

Aí só falta a gente derivar a função. Assim, vamos ter:

y ' = - b k cosh ⁡ k x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, temos:

1 + y ' 2 = 1 + b 2 k 2 cosh 2 ⁡ k x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula, teremos:

L = ∫ - 91,2 91,2 1 + b 2 k 2 cosh 2 ⁡ k x   d x

Fazendo t = k x , a integral é reescrita como

L = 1 k ∫ - 91,2 k 91,2 k 1 + b 2 k 2 cosh 2 ⁡ t   d t

Note que a questão permitiu que você usasse uma calculadora gráfica, então não teremos que calcular essa integral (o que seria bem complicado). Usando os valores das constantes: 91,2 k = 3 e b 2 k 2 = 0,476 . Fazendo a integral com auxílio de um software, obtemos:

L = 474   m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

474   m

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