Ache o comprimento da curva.

y = ln(1-x^2), 0 <= x <= 1/2

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a expressão

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

O que devemos fazer primeiro é achar y ' :

y ' = 1 1 - x 2 ⋅ 1 - x 2 ' = - 2 x 1 - x 2

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 1 - 2 x 2 + x 4 + 4 x 2 1 - x 2 2 = x 4 + 2 x 2 + 1 1 - x 2 2 = x 2 + 1 1 - x 2 2

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 0 1 / 2 x 2 + 1 1 - x 2 2   d x = ∫ 0 1 / 2 x 2 + 1 1 - x 2   d x

Para resolvermos essa integral, vamos usar frações parciais. Dividindo x 2 + 1 por 1 - x 2 :

x 2 + 1 = - 1 - x 2 + 2

Assim,

x 2 + 1 1 - x 2 = 2 - ( 1 - x 2 ) 1 - x 2 = 2 1 - x 2 - 1

Agora,

2 1 - x 2 = 2 ( 1 - x ) ( 1 + x ) = A 1 - x + B 1 + x = A 1 + x + B ( 1 - x ) ( 1 - x ) ( 1 + x )

Assim,

A + A x + B - B x = A + B + A - B x = 2

Portanto,

A + B = 2 A - B = 0

Resolvendo o sistema, chegamos a A = B = 1 . Assim,

x 2 + 1 1 - x 2 = 1 1 - x + 1 x + 1 - 1 = 1 x + 1 - 1 x - 1 - 1

Desta forma,

L = ∫ 0 1 2 1 x + 1 - 1 x - 1 - 1   d x = ln ⁡ | x + 1 | - ln ⁡ | x - 1 | - x 0 1 2 = ln ⁡ x + 1 x - 1 - x 0 1 2

Então,

L = ln ⁡ 3 / 2 - 1 / 2 - 1 2 - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 3 - 1 2

Resposta

ln ⁡ 3 - 1 2

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