Ache o comprimento da curva. y = ln ( 1 - x^2 ) , 0 <= x <= 1 // 2 Passo 1Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a expressão L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x O que devemos fazer primeiro é achar y ' : y^' = (1)/(1 - x^2) * (1 - x^2)^' = - (2 x)/(1 - x^2) Assim, 1 + (y^')^2 = 1 + (4 x^2)/((1 - x^2)^2) = (1 - 2 x^2 + x^4 + 4 x^2)/((1 - x^2)^2) = (x^4 + 2 x^2 + 1)/((1 - x^2)^2) = ((x^2 + 1)/(1 - x^2))^2 Passo 2Desta forma, o comprimento é dado pela integral L = int_0^(1 // 2) sqrt(((x^2 + 1)/(1 - x^2))^2) d x = int_0^(1 // 2) (x^2 + 1)/(1 - x^2) d x Para resolvermos essa integral, vamos usar frações parciais. Dividindo x^2 + 1 por 1 - x^2 : x^2 + 1 = - (1 - x^2) + 2 Assim, (x^2 + 1)/(1 - x^2) = (2 - ( 1 - x^2 ))/(1 - x^2) = (2)/(1 - x^2) - 1 Agora, (2)/(1 - x^2) = (2)/(( 1 - x ) ( 1 + x )) = (A)/(1 - x) + (B)/(1 + x) = (A (1 + x) + B ( 1 - x ))/(( 1 - x ) ( 1 + x )) Assim, A + A x + B - B x = (A + B) + (A - B) x = 2 Portanto, {[[A + B = 2],[A - B = 0]]) Resolvendo o sistema, chegamos a A = B = 1 . Assim, (x^2 + 1)/(1 - x^2) = (1)/(1 - x) + (1)/(x + 1) - 1 = (1)/(x + 1) - (1)/(x - 1) - 1 Desta forma, L = int_0^((1)/(2)) ((1)/(x + 1) - (1)/(x - 1) - 1) d x = [ln | x + 1 | - ln | x - 1 | - x]_0^((1)/(2)) = [ln |(x + 1)/(x - 1)| - x]_0^((1)/(2)) Então, L = ln |(3 // 2)/(- 1 // 2)| - (1)/(2) - ln 1 + 0 = ln 3 - (1)/(2) Resposta ln 3 - (1)/(2) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule a área de interseção da região limitada pelas curvas:ρ = raiz(cos(θ)) ρ = raiz(sen(θ)) ρ = 0Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas:ρ = sen(θ) ρ = 1 - cos(θ)Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas no primeiro quadrante:x4 – y4 = 2xy ρ =√ 2 s e n ( 2 θ )Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas: ρ = 2 - cos(θ) ρ = 1 + cos(θ)Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares: ρ =1 + cos θ,0≤θ≤ πVer TambémVer Livro Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James StewartVer tudo sobre Aplicação de IntegraisLista de exercícios de Comprimento de ArcoVer exercício 4.8 - 13Ver exercício 6.4 - 24