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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 2d

Determine se o conjunto dado é uma função. Se for, qual seu domínio?

x ,   y x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Para ser uma função y = f x , é preciso que, para quaisquer y 1 = f x 1 e y 2 = f x 2 , se x 1 = x 2 ⇒ y 1 = y 2 . E para descobrir seu domínio, precisamos analisar a expressão da função e retirar quaisquer números que possam fazer com que a função não exista ou saia do conjunto ao qual pertence (no nosso caso, as funções são reais).

Passo 2

Isolando y na equação dada, temos que y = 1 - x 2 ou y = - 1 - x 2 . Assim, existe pelo menos um x 0 que faz com que y 1 = 1 - x 0 2 ≠ y 2 = - 1 - x 0 2 e ambos os pares ordenados x 0 ,   y 1 e x 0 ,   y 2 pertencem ao conjunto. Logo, o conjunto não é uma função.

Matematicamente, podemos escrever que, dados x 1 , x 2 , y 1 = 1 - x 1 2 e y 2 = - 1 - x 2 2 , temos

x 1 = x 2

x 1 2 = x 2 2

- x 1 2 = - x 2 2

1 - x 1 2 = 1 - x 2 2

1 - x 1 2 = 1 - x 2 2

y 1 = - y 2

y 1 ≠ y 2

Resposta

O conjunto não é uma função.

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