Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.5 - Ex. 22

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Primeiro vamos definir o domínio, ou seja, os valores de que estão definidos na função. A função está definida para todos os reais! Ela só muda o comportamento em , mas isso não muda nada em nosso domínio.

Passo 2

A imagem da nossa função precisa de uma percepção um pouquinho mais apurada. Perceba que na primeira condição da função temos , e funções quadráticas são sempre não negativas. Então:

Subtraindo de ambos os lados:

Ou seja:

Mas se lembre que por esse critério precisamos excluir o valor da função em da imagem da função, já que em a função se comporta diferentemente. Fazendo

Da 1ª equação temos então a imagem:

E da 2ª equação vamos ficar com o único valor que assume: . Mas esse valor já está incluso na imagem por conta da imagem da 1ª equação. Então a imagem da nossa função fica .